Tiến Sĩ Tập hút toàn cục đối với một số lớp phương trình Parabolic suy biến

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NĂM 2013


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN 1
LỜI CẢM ƠN 2
MỤC LỤC 3
MỚ ĐẰU 6
Chương 1. KIẾN THỨC CHƯ AN BỊ 16
1.1 Các không gian hàm 16
1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 18
1.3 Tập hút toàn cục 19
1.3.1 Một số khái niệm 19
1.3.2 Tập hút toàn cục 21
1.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục 23
1.3.4 Số chiều fractal của tập hút toàn cục 26
1.4 Tập hút đều 27
1.4.1 Tập hút đều của quá trình đơn trị 27
1.4.2 Tập hút đều của nứa quấ trình đa trị 29
1.5 Một số bất đang thức thường dùng 32
1.6 Một số bố đề quan trọng 33

Chương 2. TẬP HÚT TOÀN cục Đối VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIEN NỮA TUYEN TÍNH TRẽN MIềN Bị CHặN 35
2.1 Đặt bài toán 35
2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu 37
2.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2(ũ) 43
2.4 Sự phụ thuộc nửa liên tục trển của tập hút toàn cục vào số
hạng phi tuyến 45
2.5 Tính trơn của tập hút toàn cục 49
2.5.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2p~2(Q) 49
2.5.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong Pq(Q. ơ)
2.6 Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục 59

Chương 3. TẬP HÚT TOÀN cục Đối VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SƯY BIEN NỮA TUYEN TÍNH TRẼN TOÀN KHÕNG GIAN 64
3.1 Đặt bài toán 64
3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu 66
3.3 Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục 70
3.3.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2(R‘V) 74
3.3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong 80
3.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong 'bíl)(K‘V, ơ) n Ư(RN) 83

Chương 4. TẬP HÚT ĐỀU Đối VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN TỰA TUYẾN TÍNH KHÕNG ÕTÕNÕM 86
4.1 Đặt bài toán 86
4.2 Sự tồn tại nghiệm vếu 88
4.3 Sự tồn tại tập hút đều trong L2(fì) 89
4.4 Tính trơn của tập hút đều trong trường hợp duy nhất nghiệm
và p = 2 94
4.4.1 Tập (L2(Q), z/*(n)) - hút đều 98
4.4.2 Tập (L2(Q), ĩ>(Ì(Q, P) n L«(fi)) - hút đều
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
DANH MỤC CÕNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIẼN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Các phương trình đạo hàm riểng tiến hóa phi tuvến xuất hiện nhiều trong các quá. trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn các quá trình truyền nhiệt và khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các phản ứng hóa học. các mô hình quần thể trong sinh học, . Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Cấ,c vấn đề đặt ra là nghiển cứu tính đặt đúng của bài toán (sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm theo dữ kiện đã cho) và các tính chất định tính của nghiệm (tính trơn, dáng điệu tiệm cận của nghiệm, .).
Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng là rất quan trọng vì nó cho phép ta hiếu và dự đoán xu thế phất triển của hệ động lực trong tương lai, từ đó ta. có thể có những điều chỉnh thích hợp rìể đạ.t được kết quả mong muốn, về mặt toán học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới. được phát triến mạnh mẽ trong khoảng ba thập kí gần đây đó là Lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. Lí thuyết này nàm ở giao của 3 chuyên ngành là Lí thuyết hệ động lực. Lí thuyết phương trình vi phân rtạo hàm riểng và Lí thuyết phương trình vi phân thường (xem Bảng phân loại toán học năm 2010). Bài toán cơ bản của lí thuvết này là nghiển cứu sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập hút, chang hạn đánh giá số
G
chiều fractal hoặc số chiều Hausdorff, sự phụ thuộc liên tục của tập hút theo tham biến, tính trơn của tập hút, xác định các modes Tập hút toàn cục cổ điển là một tập compact, bất biến, hút tất cả các quĩ đạo của hệ và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ. Cụ thể với mỗi quĩ đạo cho trước của hệ và một khoảng thời gian T tùy V. ta đều tìm rtược một quĩ rtạo nằm trên tập hút toàn cục mà dáng điệu khi thời gian đủ lớn của hai quĩ đạo này sai khác đủ nhỏ trên một khoảng có độ dài T. Hơn nữa. trong nhiều trường hợp tập hút toàn cục có số chiều fractal hữu hạn và khi đó ta có thể qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của một nghiệm bất kì về nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm trên tập hút toàn cục, tức là qui việc nghiên cứu một hệ động lực vô hạn chiều về nghiên cứu hệ động lực hữu hạn chiều trên tập hút toàn cục.
Trong ba thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và thu rtược nhiều kết quả về lí thuyết tập hút đối với nhiều lớp phương trình vi phân đạo hàm riêng (xem, chang hạn, các cuốn chuyển khảo [27, 37, 38, 54, 85, 89] và các bài tống quan gần đây [25, 72, 79]). Một trong những lóp phương trình rtạo hàm riêng được nghiển cứu nhiều nhất là lớp phương trình parabolic. Lớp phương trình này mô tả nhiều quá trình trong vật lí, hóa học và sinh học như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng - klmếch tán. mô hình toán học trong sinh học quần thể, .
Sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình và hệ phương trình parabolic nửa tuyến tính không suy biến đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, trong cả miền bị chặn và không bị chặn (xem [17, 23, 26, 33, 34, 41. 43, 48, 63. 65, 69, 77, 78, 83]). Tính liên tục của tập hút toàn cục đối với các bài toán parabolic được nghiên cứu trong các công trình [21, 22. 23, 24, 32, 75, 76]. Trong những năm gần đây, sự tồn tại tập hút đã
được chứng minh cho phương trình parabolic vối điều kiện biên phi tuyến [22, 35. 80. 76, 70, 91, 93], phương trình parabolic với điều kiện biên động lưc [5. 47, 51, 92, 94, 93]. Cho đến nay, các kết quả về lí thuyết tập hút đối với lóp phương trình parabolic không suy biến rất phong phú và đã khá hoàn thiện. Tuy nhiên, các kết quả tương rtng trong triíòng hợp phương trình suy biến vẫn còn ít. Các phương trình parabolic suy biến xuất hiện một cách tư nhiên trong nhiều bài toán của vật lí, hóa học, sinh học, và dang thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
Dưới đây, chúng tôi điếm qua một số kết quả gần đây về lí thuyết tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic suy biến:
ã Phương trình parabolic suy biến có phần chính dạng:
—A$(«) hoặc — div($(u)Vu), trong đó $(0) = 0.
Trong nhftng năm gần đây, sự tồn tại tập hút đã được chứng minh cho nhiều lóp phương trình parabolic thuộc loại này, chang hạn phương trình tựa tuyến tính p-Laplacian [36, 44, 52, 59, 74. 95] và. một số lóp phiídng trình khác [45, 49, 50].
ã Phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin: Đó là lóp phương trình parabolic suy biến chrta toán tử Grushin (xem [53]),
Gsu = Aj4- |xi|2sAl2íi, X = (xj,xo) G n c RA| X RiVỉ, s > 0.
Dựa trên các kết quả về phép nhúng kiểu Sobolev thiết lập trong [86], sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm đã được nghiên cứu cho một số lớp phương trình parabolic chứa toán tử này, trong cả hai trưòng hợp ôtônôm và không ôtồnôin. Trong trưòng hợp ôtồnôin. sư tồn tại
tập hút toàn cục đã được chứng minh trong [13] khi số hạng phi tuyến là Lipschitz địa phương và thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kiếu Sobolev; và được chứng minh trong [14] khi số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kieu rta thức. Trong trường hợp không ôtônôm, tức là khi ngoại lực phụ thuộc vào cả biến thời gian t và biến không gian X, sự tồn tại tập hút đều và tập hút lùi đối với lổp phương trình này đã được chứng minh trong [6, 19, 28]. Gần đây, một số kết quả trển đây đã rĩược mỏ rộng sang hệ parabolic có chứa toán tử Grushin, xem [20].
+ Phương trình parabolic kì dị hoặc suy biến liên quan đến bất đắng thức Cajjai'elli-Kohn-Nirenbcrg: Đây là lớp phương trình chứa toán tử A = — div(|;r|~P7| Vw|/,_2V«). Mặc dù đã có một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của lớp phương trình này (xem. chang hạn, [1, 2. 3. 4, 40]), nhưng theo hiểu biết của chúng tôi kết quả trong bài bấo [29] là kết quả đầu tiên về dáng điệu tiệm cận nghiệm của lổp phương trình này.
+ Phương trình parabolic suy biến kiêu Caldiroli - Musina: Dây là lớp phương trình parabolic chứa toán tử — div(<r(z) Vu), ở đó hệ số khuếch tán ơ là hàm không âm, đo được và có thế bàng không tại hữu hạn điểm. Cụ thể, ta giả sử ơ thỏa mãn các điều kiện do Caldiroli và Musina (xem [31]) đưa ra năm 2000: khi miền Q bị chặn,
('Haã) V £ LỊOC(Q) và với a G (0, 2)j lim infx_^ \x — zị~aơ(x) > 0 với mọi z G 0,
và khi miền không bị chặn,
ơ thỏa, mãn điều kiện ('Ha) và lim inÍỊ^i^oo |x|“ iơ(x) > 0 với fj>2.
Một ví dụ điển hình là ơ(x) rv I j|° ? Q £ (0, 2), trong trường hợp miền bị chặn, và ơ(x) rv |.r|a + |x|^, a G (0, 2), Ịj > 2, trong trường hợp miền không bị chặn.
Đe nghiên cứu lớp phương trình này, Caldiroli và Musina đã xét không gian năng lượng tự nhiên P(Ị(n. ơ) được định nghĩa là bổ sung đủ của Cq°(í2) đối với chuẩn
IMIz>Ẵ(n,ơ) = (J ff(x)|V«|2dx)
n
và chứng minh một số định lí nhúng tương ứng. Dựa trên kết quâ nàv, trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình parabolic có dạng
Uị — div(crVu) + f(u) + g(x) = 0
đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Phương trình này có thể xem là mô hình đơn giản của quá trình khuếch tán nơt.ron (điều khiến phản hồi của phản ứng hạt nhân) (xem [42]). Trong trường hợp này u và ơ tương ứng chỉ sự chảy nơtron và sự khuếch tán nơtron.
Các tác giả N.I. Karachalios và N.B. Zographopoulos (xem [55. 56]) đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm của bài toán Cauchv-Dirichlet đối với lổp phương trình trên trong trường hợp đặc biệt f(u) = —Xu + |u|27u (0 < 7 < ), g(x) = 0.
Năm 2008, các tác giả C.T. Anh và P.Q. Hưng (xem [12]) đã chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục đối với bài toán Cauchy-Dirichlet trong trường hợp dữ kiện ban đầu Uo G £>0(0, cr), g G L2(Q) cho trước, và / thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương và tăng trưỏng
kiểu Sobolev. Kết quà. này mở rộng đáng kể các kết quả trước đó của N.I. Karachalios và N.B. Zographopoulos.
+ Phương trình parabolic kiểu p-Laplacian suy biến không duy nhất nghiệm: Gần đây, sử dụng lí thuyết hệ động lực đa trị của Melnik và Valero [66, 67], các tác giả C.T. Anh, N.Đ. Bình, T.Đ. Kế đã chứng minh sự tồn tại nghiệm (có thể không duy nhất) và sự tồn tại tập hút cho một số lớp phương trình parabolic tựa tuyến tính kiểu p-Laplacian suy biến kiểu Caldiroli-Musina. (xem [15, 16]), tức là phương trình chứa toán tử dạng — div(ơ|Vu|p_2Vu) và phương trình parabolic liên quan đến bất đẳng thức Caffarelli-Kohn-Nirenberg (xem [29]). Dể làm điều đó. các tác giả C.T. Anh và T.D. Kế đã xây dựng các không gian Sobolev có trọng tương thích vói bài toán và chứng minh các định lí nhúng titơng ứng. Các kết quà này inâ rộng các kết quả. tương ứng khi
p = 2 của Caldiroli và Musina [31]. Tuy nhiên, một điểm đáng chú ý (và là một thuận lợi) trong các công trình này là phần chính của phưdng trình là một toán tử đơn điệu.
Từ nhftng kết quả ở trên, chúng ta thấy rằng đối vối láp phưdng trình parabolic suy biến, mặc dù đã có một số kết quả gần đây về tập hút toàn cục, tuy nhiên các kết quả thu được vẫn còn ít và còn nhiều vấn đề mở. Nói riêng, nhrtng vấn đề mở mà chúng tồi quan tâm trong luận án này (xin xem thêm phần Kết luận về những vấn đề mở khác) bao gồm:
+Nghiên cứu sư tồn tại và các tính chất của tập hút đối với lóp phương trình suy biến kiểu Caldiroli-Musina trong miền bị chặn khi số hạng phi tuyến / thỏa mãn điều kiện tăng trưỏng và tiêu hao kiểu đa thức với bậc tùy ý.
+ Nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút đối với phương trình suy biến kiểu Calcliroli-Musina trong miền không bị chặn, chắng hạn trong toàn không gian. Lúc nàv khó khăn cơ bản xuất hiện là do tính compact của các phép nhúng kiểu Sobolev không còn đúng nữa. Để khắc phục điều này, chúng tôi sử dụng kĩ thuật hàm cắt và kĩ thuật ước lượng rtuôi của nghiệm (xem [88]).
+ Nghiên cứu sự tồn tại tập hút của phương trình tựa tuyến tính suy biến không ôtônôm trong trường hợp nghiệm có thể không duy nhất và phần chính của phương trình có thể là toán tứ không đơn điệu. Khi đó đế xử lí tính không duy nhất nghiệm của bài toán, chúng tôi sử dụng lí thuyết hệ động lực đa trị của Melnik và Valero [66, 67, 68].
Việc nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút đối với những lớp phương trình parabolic suy biến là những vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học và hứa hẹn có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế.
Vói nhrtng lí do trên, chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dung nghiên cứu của Luận án với tên gọi là "Tập hút toàn cục đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của Luận án là nghicn cứu sự tồn tại và một số tính chất của tập hút toàn cục (bao gồm tính trơn, sự phụ thuộc liên tục theo tham biến, đánh giá số chiều fractal, .) đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến kiểu Caldiroli-Musina, cả trong miền bị chặn và trong toàn bộ không gian.

3. Phương pháp nghiên cứu
+ Dế chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, chúng tôi sử dụng phương pháp xấp xí Galerkin kết hợp với các bổ đề compact (thường được gọi là phương pháp compact trong các tài liệu).
+ Đe chứng minh sự tồn tại tập hút và tính trơn của tập hút, chúng tôi sử dụng các phương phấp của lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, nói riêng là phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận và phương pháp đánh giả phần đuôi của nghiệm.
+ Đe rtánh giá số chiều của tập hút toàn cục, chúng tôi sử dụng phương pháp của Ladyzhenskaya.

4. Cấu trúc và các kết quả của Luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và Tài liệu tham khảo, Luận ản được chia làm bốn chương:
- Chương 1 nhắc lại các khái niệm và kết. quả tống quát về tập hút toàn cục và tập hút đều, các kết quả về không gian hàm và toán tử được sử dụng trong luận án, và một số kiến thức bổ trợ khác. Đây là nluìng kiến thức cơ sở cần thiết cho việc trình bày các chương sau.
- Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại và một số tính chất của tập hút toàn cục (tính trơn, sự phụ thuộc nửa liên tục trên theo số hạng phi tuyến, đánh giá số chiều fractal) đối với một lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính ôtônôm trên miền bị chặn Q c K'V với số hạng phi tuyến tiêu hao và tăng trưởng kiểu đa thức với độ tăng tùy V.
- Chương 3 trình bày cấc kết quả về sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục đối với một lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính ôtônôm trên toàn không gian RA . Do các phép nhúng kiểu Sobolev không còn compact trong trường hợp này (và điều này gây ra những khó khăn lớn cho việc nghiên cứu), tính chất của toán tử tuyến tính phần chính thay đổi (không còn có nghịch đảo compact như trong Chương 2) và nhiều kĩ thuật sử dụng trong trường hợp miền bị chặn ở Chương 2 không còn áp dụng được nữa. Dể vượt qua các khó khăn này, chúng tôi sử dụng Bố đề compact của Temam (thay cho Bố đề compact Aubin-Lions) đé chứng minh sự tồn tại nghiệm và kĩ thuật đánh giá phần đuôi của nghiệm do Wang đề xuất năm 1999 trong [88] dế chứng minh tính compact tiệm cận của nửa nhóm sinh bởi bài toán.
- Chương 4 trình bày kết quả về sự tồn tại tập hút đều đối với một lóp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính không ôtônôm trên miền bị chặn Q c KJVJ trong trường hợp nghiệm của phương trình có thể không duv nhất. Chương này cũng trình bày các kết quả. về tính trơn của tập hút đều nhận được ở trên trong một t.ntờng hợp đặc biệt, đó là trường hợp nửa tuyến tính và duy nhất nghiệm.