Thạc Sĩ Tập các ideals nguyên tố trong các PI - Đại số

Đề tài: Tập các ideals nguyên tố trong các PI - Đại số
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo Sư
Tiến sỹ Bùi Tường Trí, giảng viên Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh. Tác giả xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy đã từng bước
hướng dẫn tác giả tìm hiểu các kiến thức cơ bản và các kết quả nghiên cứu mới
cũng như định hướng và hướng dẫn tác giả tự giải quyết các vấn đề được đề ra trong
đề cương luận văn.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Phó Giáo Sư Tiến sỹ Mỵ Vinh
Quang, Tiến sỹ Trần Huyên những người thầy đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác
giả nâng cao chuyên môn và phương pháp làm việc có hiệu quả trong suốt thời gian
của khóa học sau đại học tại Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh.
Tác giả cũng xin trân trọng cám ơn đến quý thầy cô giáo thuộc Khoa Toán –
Tin của Trường Đại Học Sư Phạm Tp. HCM, Phòng KHCN – SĐH của Trường Đại
Học Sư Phạm Tp. HCM đã tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp tác giả trong suốt quá
trình tham gia khóa học tại trường và quá trình hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và bạn bè cùng
khóa học đã động viên, cổ vũ tinh thần giúp tác giả có thể hoàn thành luận văn này.
Tác giả luận văn 2
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN . 1
MỤC LỤC 2
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 3
MỞ ĐẦU 4
Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ
ĐƠN VỊ 6
1.1 Một số kết quả về vành giao hoán có đơn vị . 6
1.2 Một số khái niệm về không gian tôpô 15
1.3 Một số tính chất về phổ nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị . 17
Chương 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA PI – VÀNH KHÔNG GIAO
HOÁN 26
2.1 Đại số tự do trên vành giao hoán có có đơn vị K 26
2.2 Một số kết quả về PI – đại số nguyên thủy . 33
2.3 Địa phương hóa theo tâm . 41
2.4 Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thật sự . 46
Chương 3: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – VÀNH
NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ . 51
3.1 Ứng dụng của đồng nhất thức, đa thức tâm đối với PI – vành bất kỳ 51
3.2 Phổ nguyên tố của PI – vành nguyên tố và nữa nguyên tố 61
3.2.1 Sự so sánh tập các ideals nguyên tố của vành bất kỳ với phổ nguyên tố của
một vành con giao hoán 61
3.2.2 Hạng của ideal nguyên tố . 64
3.2.3 Phổ nguyên tố bậc n của vành R 66
3.2.4 Ideal tối tiểu đối với ( ) n
g R . 72
KẾT LUẬN 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 743
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ , , , , : Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực,
số phức (theo thứ tự)
S : ideal sinh bởi tập con S của vành R.
a : ideal chính sinh bởi một phần tử a của vành R.
rad R( ) : nilradical của vành R
Jac R( ) : căn Jacobson của vành R
r(α) : radial của ideal α
Spec(R) : phổ nguyên tố của vành R
Spec R A ( ) : tập hợp các ideal nguyên tố của vành R mà chứa tập A
( ) Spec R n
: phổ nguyên tố bậc n của vành R
Z R( ) : tâm của vành R
V E( ) : tập tất cả các ideal nguyên tố p của vành R mà p chứa
E, với E là một tập con của R
i
x
deg f : bậc của biến
i
x của đa thức ( ) 1 i m
f x , .,x , .,x
degf : bậc của đa thức ( ) 1 i m
f x , .,x , .,x
htf : chiều cao của đa thức f
[n] : phần nguyên của số thực n
RS
: địa phương hóa vành R tại tập con đóng nhân S nằm
trong tâm của R
( ) S x ,x , .,x
n 1 2 n
: đa thức chuẩn tắc bậc n
( ) C x , x , .,x
n 1 2 n
: đa thức Capelli bậc n
rank P( ) : hạng của ideal nguyên tố P 4
MỞ ĐẦU
Vấn đề trọng tâm của đại số giao hoán là nghiên cứu về các ideal nguyên tố.
Khái niệm ideal nguyên tố là sự tổng quát hóa của khái niệm số nguyên tố trong số
học và khái niệm tập hợp các điểm trong hình học. Vấn đề được tập trung chú ý của
hình học là khái niệm “lân cận của một điểm” còn đối với đại số là quá trình địa
phương hóa của một vành tại một ideal nguyên tố.
Việc nghiên cứu phổ nguyên tố của lớp các vành giao hoán có đơn vị xem
như đã hoàn chỉnh. Ta cố gắng nghiên cứu tập các ideals nguyên tố của một vài lớp
PI – vành (tức là vành không giao hoán) và mô tả một số tính chất của tập các ideals
nguyên tố trong các lớp PI – vành này.
Vì lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài “Tập các ideals nguyên tố trong các PI – đại
số” làm chủ đề cho luận văn và bước đầu tìm hiểu việc nghiên cứu, phát triển và
hoàn chỉnh một số kết quả về mối liên hệ giữa tập hợp các ideals nguyên tố của
vành R bất kỳ với tập các ideals nguyên tố của một vành con R1
giao hoán của R và
đặc biệt hơn khi R1
là tâm của vành R.
Hướng nghiên cứu mà chúng tôi tiếp cận là dựa trên một kết quả nghiên
cứu của Rowen (giao của một ideal khác không với tâm của PI – vành nguyên tố
luôn luôn khác không), từ đó ta có thể nghiên cứu tập hợp các ideals nguyên tố của
một PI – vành nguyên tố bất kỳ thông qua việc nghiên cứu các ideals nguyên tố của
tâm của nó tức là một vành giao hoán có đơn vị.
Trong luận văn này chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu về tập các ideals
nguyên tố của các PI – vành nguyên tố và nửa nguyên tố.
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Luận văn được chia thành 3 chương
CHƯƠNG I: Giới thiệu về vành giao hoán và các kết quả chính về phổ nguyên tố
trong một vành giao hoán có đơn vị. 5
CHƯƠNG II: Giới thiệu các PI – vành không giao hoán và các kết quả cơ bản của
các PI – vành không giao hoán.
CHƯƠNG III: Tìm hiểu về tập hợp các ideals nguyên tố trong các PI – vành
nguyên tố và nửa nguyên tố. 6
Chương 1:
TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
1.1MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ
Định nghĩa 1.1.1: Một vành giao hoán có đơn vị là một tập hợp R khác rỗng cùng
với hai phép toán hai ngôi, một viết theo lối cộng và một viết theo lối nhân, thỏa
mãn các điều kiện sau:
i) R cùng với phép cộng là một nhóm abel.
ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm.
iii) Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, nghĩa là:
Với mọi x, y,z R ∈ ta có:
x y z xy xz ( + = + )
( y z x yx zx + = + )
iv) Với mọi x, y A xy yx ∈ = thì .
v) Tồn tại phần tử 1 R ∈ sao cho x1 1x x = = với mọi x R ∈ .
Trong chương này chúng tôi chỉ đề cập đến vành giao hoán có đơn vị do đó nếu
không nói gì thêm thì vành R thường được hiểu là một vành giao hoán có đơn vị,
tức là một vành thỏa mãn 5 tính chất trên.
Định nghĩa 1.1.2: Cho R là một vành bất kỳ. Vành con α của R gọi là ideal của A
nếu xa ∈α với mọi x ,a R ∈α ∈ .
Nhận xét:
- Giao của một họ không rỗng các ideal của vành R là một ideal của R.
- Cho S là một tập con của vành R. Khi đó có ít nhất một ideal của vành R
chứa S (chẳng hạn R). Bởi vậy giao của tất cả các ideal của R chứa S là một
ideal của R chứa S. Ideal này được gọi là ideal sinh bởi tập S, kí hiệu: S .
Hiển nhiên đây là ideal bé nhất (theo quan hệ bao hàm) trong lớp các ideal
của R chứa S. 7
Định nghĩa 1.1.3: Ideal sinh bởi tập gồm một phần tử {a} gọi là ideal chính sinh
bởi a, kí hiệu: a .
Định nghĩa 1.1.4:
- Một ideal p của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu p 1 ≠ và nếu
xy p ∈ thì x p ∈ hoặc y p ∈ .
- Một ideal m của vành R được gọi là ideal tối đại nếu m 1 ≠ và không có
ideal α sao cho: m 1 ⊂ α ⊂ (bao hàm nghiêm ngặt).
Mệnh đề 1.1.5:
p là ideal nguyên tố của vành R khi và chỉ khi A
p
là miền nguyên.
m là ideal tối đại của vành R khi và chỉ khi A
m
là trường.
Hệ quả 1.1.6: Mọi ideal tối đại đều là ideal nguyên tố.
Mệnh đề 1.1.7:
Cho R là một vành. Giả sử p là một ideal nguyên tố và α β, là các ideal của
R. Khi đó nếu αβ ⊂ p thì α ⊂ p hoặc β ⊂ p .
Chứng minh:
Giả sử α ⊄ p và β ⊄ p . Khi đó tồn tại x ;y ∈α ∈β sao cho x p;y p ∉ ∉ ⇒ xy p ∉
(vì p là ideal nguyên tố).
Mặt khác xy p xy p ∈αβ ⊂ ⇒ ∈ (vô lý).
Vậy α ⊂ p hoặc β ⊂ p .
Mệnh đề 1.1.8:
Giả sử p là một ideal nguyên tố và
1 2 n α α α , , ., là những ideal của R. Khi
đó:
- Nếu
n
i
i 1
p
=
∩α ⊂ thì tồn tại i sao cho:
i α ⊂ p .
- Nếu
n
i
i 1
p
=
∩α = thì tồn tại i sao cho:
i α = p .
Chứng minh: 8
Bằng phản chứng giả sử i i i α ⊂ ∀ = p; i 1,n f ⇒ ∃ ∈α nhưng
i
f p ∉ với mọi i.
Suy ra:
n
i
i 1
f p
=
∏ ∉ (vì p là ideal nguyên tố).
Mặt khác do
n n n
i i i i i
i 1 i 1 i 1
f , i 1,n f
= = =
∈α ∀ = ⇒ ∏ ∏∈ α ⊂ α ∩ .
Theo giả thiết:
n
i
i 1
p
=
∩α ⊂ nên ta có:
n
i
i 1
f p
=
∏ ∈ (mâu thuẫn với
n
i
i 1
f p
=
∏ ∉ )
Vậy tồn tại i sao cho:
i α ⊆ p .
Đặc biệt nếu:
n
i i
i 1
p p ; i 1,n
=
∩α = ⇒ ⊂ α ∀ = . Mặt khác do kết quả trên thì tồn tại
0
i
sao cho:
0
i α ⊆ p . Vậy tồn tại
0
i sao cho:
0
i α = p .
Bổ đề Zorn: Cho S là tập không rỗng được sắp thứ tự bởi ≤ . Nếu mọi tập con T
của S, được sắp toàn phần bởi ≤ , đều có cận trên thì S có phần tử tối đại.
Định lý 1.1.9: Mọi vành R khác 0 có đều ít nhất một ideal tối đại.
Hệ quả 1.1.10:
Nếu α ≠ 1 là ideal của vành R thì α được chứa trong một ideal tối đại của R.
Mọi phần tử không khả nghịch của vành R đều được chứa trong một ideal tối đại
của R.
Định nghĩa 1.1.11: Một phần tử x R ∈ được gọi là lũy linh nếu có số nguyên
dương n sao cho:
n
x 0 = . Hiển nhiên, nếu x 0 ≠ , x lũy linh thì x là ước của 0.
Tập hợp gồm các phần tử lũy linh của vành R là một ideal của R và được gọi là
nilradical của R, kí hiệu: rad R( ). Khi đó:
( )
R
rad R
không có phần tử lũy linh
khác 0.
Mệnh đề 1.1.12: Nilradical của vành R là giao của các ideal nguyên tố của vành R.
Chứng minh:
Gọi ℜ là giao của tất cả các ideal nguyên tố của R. 9
Giả sử f R ∈ là phần tử lũy linh và p là ideal nguyên tố. Khi đó tồn tại số nguyên
dương n sao cho:
n
f 0 p f p = ∈ ⇒ ∈ (vì p là ideal nguyên tố). Do đó: rad R( ) ⊂ ℜ.
Ngược lại: giả sử f là một phần tử không lũy linh, tức là
* n
∀ ∈ > n : f 0 ℕ . Xét Σ là
tập hợp gồm các ideal α thỏa mãn tính chất:
* n
∀ ∈ ∉α n : f ℕ . Hiển nhiên Σ ≠ ∅
(vì 0∈Σ). Σ được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm.
Lấy { i}i I
T
∈
= α là một tập con của Σ được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao
hàm. Đặt
i
i I ∈
β = α ∪ . Khi đó β là ideal của A, vì: ∀ ∈β ∀ ∈ f ,g , h A , do T được sắp
thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao hàm nên tồn tại α ∈i T sao cho
i i i
f ,g f g ;hf ∈α ⊂ β⇒ ư ∈α ⊂ β ∈α ⊂ β. Vậy β là ideal của A.
Vì
n n
i i α ∈Σ ∀ ∈ , i I f , i I, n 0 f , n 0 ⇒ ∉α ∀ ∈ ∀ > ⇒ ∉β ∀ > .
Vậy β là cận trên của Σ. Theo bổ đề Zorn, tập Σ có phần tử tối đại p. Ta chứng
minh p là ideal nguyên tố.
Giả sử x, y p ∉ khi đó p x p,p y p + ⊃ + ⊃ (bao hàm nghiêm ngặt) và do đó
không thuộc Σ. Vậy tồn tại m, n sao cho:
m n
f p x ,f p y ∈ + ∈ + . Suy ra:
m n
f p xy
+
∈ + , nên p xy xy p + ∉Σ ⇒ ∉ . Vậy p là ideal nguyên tố. Do đó có
ideal nguyên tố p sao cho f p f ∉ ⇒ ∉ℜ.
⇒ ℜ ⊂ rad R( ).
Vậy rad R( ) = ℜ .
Định nghĩa 1.1.13: Cho α là một ideal bất kỳ của vành R. Tập tất cả các phần tử
x R ∈ sao cho có
n
n 0 : x > ∈α , gọi là radical của ideal α , kí hiệu: r(α).
Mệnh đề 1.1.14: r(α) là một ideal của R.
Mệnh đề 1.1.15: Radical của ideal α là giao của tất cả các ideal nguyên tố mà chứa
α .
Chứng minh: