Tài liệu Tài liệu Toán cao cấp - dành cho sinh viên liên thông ngành Kế toán

TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN MÔN HỌC CHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHUYÊN


MÔ TẢ MÔN HỌC
ã Toán cao cấp được thiết kế trong nhóm kiến thức cơ bản. Cung cấp kiến thức đại cương về tập hợp, quan hệ và logic suy luận.
ã Trang bị cho sinh viên các kết quả cơ bản về Giải tích toán học thực sự cần thiết cho việc tiếp cận các môn chuyên ngành: Hàm số; Giới hạn; liên tục; Phép tính vi, tích phân của hàm một biến; Ứng dụng ma trận, định thức. Hệ phương trình tuyến tính, phương trình vi phân.
ã Sinh viên tiếp cận những kiến thức trên thông qua việc kết hợp bài giảng trên lớp, tự học và tìm hiểu thêm trong các tài liệu.
ã Trang bị kiến thức toán học bước đầu giúp sinh viên làm quen với một vài ứng dụng toán học trong cuộc sống


CẤU TRÚC MÔN HỌC
Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số và dãy hàm một biến số.
Chương 2: Đạo hàm, vi phân và ứng dụng hàm một biến.
Chương 3: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng và các ứng dụng.
Chương 4: Các kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến.
Chương 5: Giải bài toán phương trình vi phân cấp I và cấp II.
Chương 6: Giải bài toán ứng dụng ma trận và hệ phương trình tuyến tính
* Thực hành: Làm bài tập trên lớp+ Hoạt động theo nhóm+ Thảo luận


MỤC LỤC


CẤU TRÚC MÔN HỌC 2
KẾ HOẠCH ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC 3
ĐÁNH GIÁ CUỐI MÔN HỌC 3
Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số và dãy hàm một biến số 9
Bài 1: CÁC TRƯỜNG SỐ 9
1.1. Tập các số 9
1.2. Số phức 10
1.3. Khoảng – Lân cận 11
Bài 2: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 13
2.1. Hàm số 13
2.1.1. Định nghĩa 1 13
2.1.2. Định nghĩa 2 13
2.1.3. Các tính chất 13
2.2. Giới hạn của dãy số 17
2.2.1. Các định nghĩa 17
2.2.2. Các tính chất 18
2.3. Ứng dụng hàm số trong kinh tế 18
Bài 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 21
3.1. Các định nghĩa 21
3.2. Các tính chất 22
3.3. Các giới hạn cơ bản 23
Bài 4: VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN 25
4.1. Các định nghĩa 25
4.2. Các tính chất 26
Bài 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC 27
4.3. Các định nghĩa 27
4.4. Tính liên tục của hàm số sơ cấp 28
4.5. Các phép tính về hàm liên tục tại cùng một điểm. 28
BÀI TẬP 29
Chương 2: Đạo hàm, vi phân và ứng dụng hàm một biến. 32
Bài 1: ĐẠO HÀM 32
1.1. Các định nghĩa 32
1.2. Các định lý 32
1.3. Ý nghĩa của đạo hàm 33
1.3.1. Ý nghĩa hình học 33
1.3.2. Ý nghĩa vật lý 33
1.4. Qui tắc tính đạo hàm 33
1.5. Đạo hàm cấp cao 34
Bài 2: VI PHÂN 35
2.1. Định nghĩa vi phân 35
2.2. Mối liên hệ giữa vi phân và đạo hàm 35
2.3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân 36
Bài 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN 40
3.1. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số 40
3.2. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. 41
3.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 43
3.4. Ứng dụng trong kinh tế 43
3.4.1. Ý nghĩa của đạo hàm 43
3.4.2. Giá trị cận biên 44
3.4.3. Hàm cầu và tính co giãn của cầu: 45
3.4.4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế 46
BÀI TẬP 49
Chương 3: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng và các ứng dụng 52
Bài 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 52
1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định 52
1.2. Các phương pháp tính tích phân 53
1.2.1. Phương pháp đổi biến số 53
1.2.2. Phương pháp tích phân từng phần: 55
1.3. Tích phân của các hàm số đơn giản 55
1.3.1. Tích phân của hàm số hữu tỷ 55
1.3.2. Tích phân của hàm số lượng giác 59
3.3.3. Tích phân của hàm số vô tỷ 61
BÀI TẬP 63
Bài 2: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 65
2.1. Định nghĩa tích phân xác định 65
2.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong 65
2.1.2. Định nghĩa tích phân xác định 65
2.2. Tính chất của tích phân xác định 66
2.3. Công thức cơ bản của tích phân xác định 68
BÀI TẬP 70
Bài 3: CÁC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 71
3.1. Tính diện tích hình phẳng 71
3.2. Tính độ dài đường cong phẳng 73
3.3. Tính thể tích vật thể 74
3.4. Tính diện tích mặt tròn xoay 76
3.5. Ứng dụng trong kinh tế 77
Bài 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 79
4.1. Tích phân suy rộng loại một 79
4.2. Tích phân suy rộng loại hai 80
4.3. Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng 81
4.3.1. Tích phân suy rộng loại một 81
4.3.2. Tích phân suy rộng loại hai 83
BÀI TẬP 85
Chương 4: Các kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến. 86
Bài 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM NHIỀU BIẾN 86
1.1. Khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến 86
1.1.1. Rn và các tập con 86
1.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến 88
1.1.3. Các ví dụ: 89
1.2. Biểu diễn hình học của hàm hai biến số 90
1.3. Giới hạn của hàm nhiều biến số: Z = f(x; y) 92
1.3.1. Định nghĩa giới hạn 92
1.3.2. Các ví dụ 92
1.3.3. Chú ý 93
1.4. Sự liên tục của hàm số Z = f(x; y) 93
1.4.1. Định nghĩa 1 93
1.4.2. Định nghĩa 2 93
Bài 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN 95
2.1. Đạo hàm riêng 95
2.1.1. Định nghĩa 95
2.1.2. Đạo hàm riêng cấp cao 97
2.2. Vi phân toàn phần 98
2.2.1. Định nghĩa 98
2.2.2. Điều kiện khả vi 99
2.2.3. Vi phân cấp cao 100
2.2.4. Ứng dụng để tính gần đúng 101
2.3. Đạo hàm của hàm hợp 102
2.4. Đạo hàm của hàm ẩn 104
Bài 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 106
3.1. Cực trị tự do 106
3.2. Quy tắc tìm cực trị 106
3.3. Cực trị có điều kiện 108
3.3.1. Định nghĩa 108
3.3.2. Qui tắc thế 109
3.3.3. Phương pháp nhân tử của Lagrange 109
3.4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong miền đóng 110
BÀI TẬP 112
Chương 5: Giải phương trình vi phân cấp một, cấp hai và ứng dụng 116
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – TỔNG QUÁT VỀ PTVP. 116
1.1. Các bài toán thực tế 116
1.1.1. Bài toán 1 116
1.1.2. Bài toán 2 116
1.2. Định nghĩa phương trình vi phân 117
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 118
2.1. Tổng quát về phương trình vi phân cấp I 118
2.1.1. Định nghĩa 118
2.1.2. Định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm 118
2.1.3. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp 1 118
2.2. Phương trình vi phân có biến phân ly 119
2.2.1. Định nghĩa 119
2.2.2. Cách giải 119
2.3. Phương trình vi phân đẳng cấp 120
2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp I 122
2.4.1. Định nghĩa 122
2.4.2. Cách giải 123
2.5. Phương trình BECNOULLI 124
2.5.1. Định nghĩa 124
2.5.2. Cách giải 124
2.6. Phương trinh vi phân toàn phần 125
2.6.1. Định nghĩa 125
2.6.2. Cách giải 125
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 129
3.1. Tổng quát về phương trình vi phân cấp II 129
3.1.1. Định nghĩa 129
3.1.2. Định lý về sự tồn tại, duy nhất của phương trình vi phân cấp 1 129
3.1.3. Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp 2 129
3.2. Các phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được 130
3.2.1. Loại 1: Vế phải của phương trình không chứa y và y’ 130
3.2.2. Loại 2: Khi vế phải của phương trình không chứa y 130
3.2.3. Loại 3: Vế phải không chứa x 131
3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp II 131
3.3.1. Định nghĩa 131
3.3.2. Phương trình thuần nhất 132
3.3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp II không thuần nhất 134
3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số là hằng số 135
3.4.1. Định nghĩa 135
3.4.2. Cách giải 135
BÀI TẬP 140
Chương 6: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính và các ứng dụng. 142
Bài 1: KHÔNG GIAN VECTƠ Rn 142
1.1. Không gian vectơ Rn 142
1.2. Tổ hợp tuyến tính 142
1.3. Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính vàì độc lập tuyến tính 142
Bài 2: LÝ THUYẾT SƠ CẤP VỀ MA TRẬN 144
2.1. Khái niệm về ma trận 144
2.1.1. Định nghĩa 144
2.1.2. Các dạng ma trận thường gặp 144
2.2. Các phép toán trên ma trận 147
2.2.1. Sự bằng nhau của hai ma trận 147
2.2.2. Phép cộng các ma trận 147
2.2.3. Nhân một số khác không với một ma trận 147
2.2.4. Nhân hai ma trận 148
2.2.5. Lũy thừa bậc n của ma trận 149
2.2.6. Phép chuyển vị 149
2.2.7. Các phép biến đổi sơ cấp 150
Bài 3: ĐỊNH THỨC 151
3.1. Định thức của ma trận vuông 151
3.1.1. Các định nghĩa 151
3.1.2. Phương pháp tính định thức 152
3.2. Các tính chất của định thức 155
3.2.1. Tính chất 1 155
3.2.2. Tính chất 2 156
3.2.3. Tính chất 3 156
3.2.4. Tính chất 4 157
3.2.5. Tính chất 5 157
3.2.6. Tính chất 6 158
3.2.7. Tính chất 7 158
Bài 4: HẠNG CỦA MA TRẬN 161
4.1. Định nghĩa 161
4.2. Các phương pháp tìm hạng của ma trận 161
4.2.1. Dùng định nghĩa 161
4.2.2. Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp 162
Bài 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT 165
5.1. Định nghĩa 165
5.2. Điều kiện để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm 166
5.3. Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 168
5.3.1. Phương pháp đưa về hệ Gramer 168
5.3.2. Phương pháp khử dần ẩn số của Gause 170
5.3.3. Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo 173
5.3.4. Phương pháp Gramer 174
Bài 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 177
6.1. Định nghĩa 177
6.2. Các ví dụ 177
Bài 7: GIẢI BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 181
BÀI TẬP 183
TÀI LIỆU THAM KHẢO 189