Tiến Sĩ Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng và bao hàm thức tựa biến phân Pareto

LUẬN ÁN TIẾN SỸ
NĂM 2014

Mục lục
Mục lục . 4
Một số ký hiệu và viết tắt . 5
Mở đầu 7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 14
1.1. Khái niệm ánh xạ đa trị 14
1.2. Tính không rỗng của nón cực chặt 17
1.3. Một số tính chất của ánh xạ đa trị 22
1.4. Định lý điểm bất động và các vấn đề liên quan 30
Chương 2. Bài toán tựa cân bằng . 33
2.1. Bài toán tựa cân bằng Pareto và yếu loại I 33
2.2. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II . 48
Chương 3. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto 61
3.1. Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I 61
3.2. Một số bài toán liên quan loại I . 74
3.3. Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại II . 78
3.4. Một số bài toán liên quan loại II 86
Kết luận . 90
Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu 91
Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án . 92
Tài liệu tham khảo . 93

Mở đầu
Bài toán đóng vai trò chính trong lý thuyết tối ưu đó là bài toán: Tìm
¯ x ∈ D sao cho F (¯ x) ≤ F (x) với mọi x ∈ D, (OP )
trong đó D là tập khác rỗng và F : D → R là hàm số thực. Trong lý
thuyết tối ưu tổng quát thì bài toán trên có mối quan hệ mật thiết với
một số bài toán khác như bài toán điểm cân bằng, bài toán bất đẳng
thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash, bài
toán điểm yên ngựa, bài toán bù, Trong trường hợp F là hàm véctơ
từ một tập nào đó vào không gian tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón, bài
toán (OP ) được gọi là bài toán tối ưu véctơ hay còn được gọi là bài toán
tối ưu đa mục tiêu. Từ quan hệ thứ tự sinh bởi nón, người ta đưa ra các
khái niệm khác nhau về điểm hữu hiệu của một tập và phát biểu được
các loại bài toán tối ưu khác nhau như bài toán tối ưu véctơ lý tưởng,
bài toán tối ưu Pareto, bài toán tối ưu véctơ yếu, bài toán tối ưu véctơ
thực sự (xem [1], [46] và các tài liệu liên quan). Bài toán (OP ) trong
trường hợp này đóng vai trò trung tâm của lý thuyết tối ưu véctơ hay
còn gọi là lý thuyết tối ưu đa mục tiêu. Lý thuyết này được hình thành
từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth
[20] và Pareto [4], gắn liền với tên tuổi của một số nhà toán học lớn, ta
có thể kể đến như Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans,
Tuy nhiên, cũng phải cho tới năm 1951 với công trình của KuhnTucker [53] về điều kiện cần và đủ cho tối ưu và năm 1954 với công trình
của Deubreu [16] về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto, lý thuyết tối ưu
véctơ mới được công nhận là ngành toán học quan trọng có nhiều ứng



dụng trong thực tế và được rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước
quan tâm nghiên cứu. Khái niệm ánh xạ đa trị được đưa ra từ những
năm 30 của thế kỷ 20 trên cơ sở những bài toán có trong thực tế. Từ đó
người ta mở rộng bài toán (OP ) cho trường hợp F là ánh xạ véctơ đa
trị và bài toán (OP ) được gọi là bài toán tối ưu véctơ đa trị. Bài toán
tối ưu véctơ đa trị được nghiên cứu khá kỹ trong cuốn sách chuyên khảo
của D. T. Luc [46]. Các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu cũng dần
dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị và hình thành nên một ngành toán
học khá hoàn chỉnh đó là lý thuyết tối ưu véctơ đa trị. Trong lý thuyết
tối ưu véctơ đa trị, lớp bài toán tựa cân bằng và lớp bài toán bao hàm
thức tựa biến phân đóng một vai trò rất quan trọng, được nhiều người
quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hai
lớp bài toán này. Dưới đây chúng ta điểm qua lịch sử phát triển của hai
lớp bài toán này theo hướng chúng tôi nghiên cứu.
Những kết quả mới đã chứng minh được trong luận án
1. Thiết lập một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto và yếu loại I.
2. Thiết lập một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II.
3. Thiết lập một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I.
4. Thiết lập một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại II.