Thạc Sĩ Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với những hệ con ổn định và không ổn định

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

iii
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN . i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
MỞ ĐẦU . 1
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 4
1.1. Hệ phương trình vi phân thường . 4
1.2. Hệ phương trình vi phân đại số . 7
1.3. Hệ chuyển mạch 15
Chương 2. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI
SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG
ỔN ĐỊNH 22
2.1. Đặt vấn đề 22
2.2. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với
những hệ con ổn định 22
2.3. Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với những
hệ con ổn định và không ổn định 25
KẾT LUẬN . 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 40
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

1
MỞ ĐẦU
Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài toán, chẳng
hạn mô tả hệ thống chuyển mạch của mạng điện, hệ thống mạng viễn thông,
đòi hỏi phải giải và xét tính ổn định của hệ chuyển mạch vi phân thường dạng:
( ) x f x
 (0.1)
trong đó : {1,2, ., }, , N N

    là tín hiệu chuyển mạch, x là tín hiệu trong
,
n
n   , cũng như hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính (hệ chuyển
mạch DAEs) có dạng:
E x A x
 
  (0.2)
trong đó , ,
p p
n n
E A
  là ma trận hằng với mỗi tham số {1,2, , } p N   ,
0 et , d
p
E
 là tín hiệu chuyển mạch.
Trong luận văn này tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự ổn định của hệ
chuyển mạch DAEs trong trường hợp không phải tất cả các hệ con là ổn định.
DAEs tuyến tính cổ điển (tức là không có sự chuyển mạch) xuất hiện
một cách tự nhiên khi mô hình hóa các mạch điện cũng như các hệ thống cơ
học đơn giản với các ràng buộc. Đã có một loạt các kết quả nghiên cứu về
phương trình vi phân đại số cổ điển, ví dụ kết quả của Breman, Campbell và
Petzold [5] Rabier và Rheinboldt [16], Kuke và Mehrmann [10], . Khi mỗi ma
trận
p
E là khả nghịch thì phương trình (0.2) đưa được về dạng quen thuộc hơn
là phương trình vi phân thường hay hệ chuyển mạch. Cũng có nhiều kết quả
nghiên cứu như: Wichs, Peleties và Decarlo [18]; Dayawansa và Martin [6]. Lý
thuyết ổn định của các hệ chuyển mạch đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu
trong những năm gần đây (có thể kể ra các công trình của Branicky [4]; Zhao
và Spong [23]; Liberzon [11]; Hesspanha, Liberzon, Angeli và Sontag [8];
Kim, Campbell và Liu [9].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

2
Theo Liberzon [11] sự chuyển đổi giữa các hệ con ổn định có thể dẫn
đến sự mất ổn định; hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận theo chuyển đổi tùy ý
nếu và chỉ nếu các hệ con chia sẻ một hàm Lyapunov chung và sự ổn định được
bảo toàn theo chuyển đổi đủ chậm như có thể được hiển thị bởi việc sử dụng
các hàm Lyapunov bội (một cho mỗi hệ con).
Tuy nhiên, phương pháp tương tự ít khi được áp dụng trong hệ chuyển
mạch DEAs trong các kết quả nghiên cứu. Trong Liberzon và Trenn [12] hệ
chuyển mạch DAEs tuyến tính được xác định bởi họ các hệ con DAEs tuyến
tính và tín hiệu chuyển mạch được đưa ra xem xét. Chúng khác nhau từ hệ
DAEs tuyến tính cổ điển. Điều kiện đủ Lyapunov cho sự ổn định của hệ chuyển
mạch DAEs ban đầu được thành lập khi phép chiếu tương thích được sử dụng.
Với sự hỗ trợ của phép biến đổi tương thích, nó mô tả cách thức không phù hợp
giá trị ban đầu các bước nhảy đến một thống nhất trong các biến đổi, nó dường
như có thể nghiên cứu hệ chuyển mạch DAEs (0.2). Với giả thiết tất cả các hệ
con là ổn định, nó thu được toàn bộ hệ thống là ổn định tiệm cận.
Khi một hệ thống không thỏa mãn sự ổn định theo biến đổi bất kỳ, kỹ
thuật thời gian dừng trung bình được giới thiệu đầu tiên trong Hespanha và
Morse [7] có thể hữu ích cho sự phân tích ổn định. Phương pháp này cũng đã
xuất hiện trong Zhai, Hu, Yahuda và Michel [19]; Lin, Zhai và Antsaklis [13];
Zhai và Lin [21]. Nghiên cứu gần đây của các hệ chuyển mạch tuyến tính có
thể được tìm thấy trong Zhang và Shi [22]; Olsder [14].
Từ các công trình trên, ta xét hệ chuyển mạch DEAs với các hệ con ổn
định và không ổn định theo chuyển đổi thời gian dừng trung bình. Lý do để xét
các hệ con không ổn định là trong lý thuyết cũng như thực tế các hệ con không
ổn định không thể tránh được trong nhiều ứng dụng. Nhằm tìm hiểu sâu hơn về
cách giải quyết vấn đề này, tôi đã chọn đề tài: “Sự ổn định của hệ chuyển
mạch vi phân đại số tuyến tính với những hệ con ổn định và không ổn định”
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

3
để thực hiện. Trong luận văn này, tôi tổng hợp và trình bày lại sự ổn định của
hệ chuyển mạch DEAs tuyến tính mà không cần giả sử mỗi hệ con là ổn định
tiệm cận khác biệt với Liberzon và Trenn [12] và chỉ ra sự ổn định tiệm cận
của hệ chuyển mạch DEAs nếu thời gian dừng trung bình được chọn đủ lớn và
tổng thời gian kích hoạt của các hệ con không ổn định là tương đối nhỏ so với
hệ ổn định.
Nội dung luận văn gồm 37 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Nội dung chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản bao gồm các
khái niệm cơ bản, các tính chất của phương trình vi phân, phương trình vi phân
đại số, hệ chuyển mạch sử dụng trong luận văn.
Chương 2: Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với
các hệ con ổn định và không ổn định.
Nội dung chương này trình bày bài toán và một số kết quả nghiên cứu về
sự ổn định của hệ chuyển mạch DAEs (0.2) với những hệ con ổn định và không
ổn định, cùng một số ví dụ minh họa cho các kết quả trên.