Thạc Sĩ Sự hội tụ của dãy các tập hợp Iđêan nguyên tố liên kết

Đề tài: Sự hội tụ của dãy các tập hợp Iđêan nguyên tố liên kết
Lời Cảm Ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
Tiến sĩ Trần Tuấn Nam. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người
đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những
kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những
kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô trong tổ Đại Số, khoa Toán - Tin trường
Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi nâng cao trình độ
chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học.
Chân thành cảm ơn quý Thầy - Cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại
học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này.
Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT
CưMgar đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học.
Sau cùng chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý
và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tp. Hồ Chí Minh, năm 2011
Tống Văn Thành
iMục lục
Lời Cảm Ơn i
Bảng kí hiệu iv
Mở Đầu 1
1 Kiến thức cơ bản 3
1.1 Địa phương hóa 3
1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá . 4
1.3 Iđêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ . 6
1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 8
1.5 Biến đổi iđêan . 11
1.6 Số chiều, chiều cao và hạng số học 13
1.7 Vành và môđun phân bậc 14
1.8 Vành Rees và grI (R) . 20
2 Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết 22
2.1 Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết . 22
iiiiiiiiiii
2.2 Sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên vành phân bậc
tiêu chuẩn dương . 34
2.3 Áp dụng đối với dãy (Ass(N/I
nN))n và (Ass(I
nN/I
n+1N))n 46
Kết luận 52
Tài liệu tham khảo 54Bảng kí hiệu
N : Tập hợp các số nguyên dương
N0 : Tập hợp các số nguyên không âm
Z : Tập hợp các số nguyên
Spec(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố của vành R
Ass(M) : Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M
Supp(M) : Giá của môđun M
E(M) : Bao nội xạ của môđun M
Hi
I
(M) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo I
DI (M) : Biến đổi iđêan của môđun M tương ứng với iđêan I
ht(P) : Chiều cao của iđêan nguyên tố P
ara(I) : Hạng số học của iđêan I
∗
Spec(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R
gr(R) : Vành phân bậc liên kết của R
R(I) : Vành Rees của I
Proj(R) : Tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R mà không chứa
iđêan irrelevant
reg(M) : Chỉ số chính quy Castelnuovo của M
ivMở Đầu
Sự ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass là một kết
quả khá nổi tiếng được nhà toán học M.Brodmann đưa ra lần đầu tiên
trong [4] vào năm 1979. Nếu I là một iđêan của một vành Noether giao
hoán A, thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết Ass(A/I
n
) của lũy thừa
thứ n của I là không đổi với mọi n đủ lớn. Giả sử dãy (Ass(A/I
n
))n∈N có
các giá trị cuối không đổi, kí hiệu là Ass
∗
(I), nhà toán học S.McAdam và
P.Eakin đã đưa ra một số trường hợp mà bảo đảm rằng một iđêan nguyên
tố P của A là nằm trong Ass
∗
(I). Một câu hỏi được đặt ra: "Cho một iđêan
nguyên tố P của A, P ∈ Ass
∗
(I), có thể xác định được một số nguyên nP
thỏa mãn tính chất rằng P ∈ Ass(A/I
n
) với mọi n > nP hay không?".
Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự
hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần
phân bậc của các môđun phân bậc hữu hạn sinh trên một vành Noether
giao hoán phân bậc tiêu chuẩn dương, những kết quả này sau đó được áp
dụng để trả lời cho câu hỏi ở trên.
1222
Cụ thể luận văn chia làm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ bản.
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất
về địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết và giá, iđêan nguyên sơ và sự
phân tích nguyên sơ, môđun đối đồng điều địa phương, biến đổi iđêan, số
chiều, chiều cao và hạng số học, vành và môđun phân bậc, vành Rees và
grI (R) mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2.
Chương 2. Sự hội tụ của dãy các tập hợp iđêan nguyên tố liên kết.
Trong chương này, chúng tôi đi chỉ ra rằng với n lớn thì Ass(A/I
n
) là
không đổi, đưa ra một số trường hợp để một iđêan nguyên tố P của A
là nằm trong Ass
∗
(I) và đưa ra một kết quả khá thú vị liên quan đến
Ass
∗
(I) ư Bss
∗
(I) đó là một iđêan nguyên tố trong Ass
∗
(I) ư Bss
∗
(I)
phải là ước nguyên tố của không. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một số kết
quả về sự hội tụ của dãy các môđun phân bậc trên một vành Noether phân
bậc tiêu chuẩn dương. Sau đó áp dụng các kết quả trên để đưa ra một số kết
quả về sự hội tụ của các dãy (Ass(N/I
nN))n∈N và (Ass(I
nN/I
n+1N))n∈N0
,
trong đó N là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether giao hoán A và I là
một iđêan của A.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do năng lực có hạn nên luận văn này chắc
chắn không tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sự thông cảm
và góp ý sâu sắc của quý Thầy Cô để luận văn này hoàn chỉnh hơn.Chương 1
Kiến thức cơ bản
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và mệnh đề mà
chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2. Các kết quả trong phần này hầu hết
không chứng minh, độc giả có thể tham khảo ở một số tài liệu [1], [2], [5],
[6], [7], [9], [10].
1.1 Địa phương hóa
Cho tập con nhân S của một vành R. Trên tập R × S ta định nghĩa một
quan hệ hai ngôi ∼ như sau:
Với mọi (a, s),(a
′
, s
′
) ∈ R × S
(a, s) ∼ (a
′
, s
′
) ⇔ ∃t ∈ S : (as
′
ư a
′
s)t = 0
Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên R × S.
Ta kí hiệu tập thương (R × S)/ ∼ là S
ư1R và lớp tương đương của phần
tử (a, s) là a/s.
3444
Định nghĩa 1.1.1. Tập S
ư1R cùng với hai qui tắc sau:
Với mọi
a
s
,
b
t
∈ S
ư1R
a
s
+
b
t
=
at + bs
st
a
s
.
b
t
=
ab
st
là một vành. Vành S
ư1R được gọi là vành các thương của vành R theo tập
con nhân S
Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R. Tập S = R\P là tập con
nhân của R. Trong trường hợp này vành các thương S
ư1R kí hiệu là RP .
Mệnh đề 1.1.2. Vành RP là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất
là S
ư1
P. Vành địa phương RP được gọi là địa phương hóa của vành R theo
iđêan nguyên tố P.
1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá
Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành và M là một R - môđun, iđêan
nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại
x ∈ M,(x = 0) : 6 P = ann(x).
Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là: Ass(M) hoặc
AssR(M). Cho I là một iđêan của R, iđêan nguyên tố liên kết của Rưmôđun
R/I được gọi là ước nguyên tố của I. Ta nói a ∈ R là một ước của không
đối với M nếu tồn tại x ∈ M,(x = 0) 6 sao cho ax = 0.
Tập hợp các iđêan nguyên tố P của R sao cho MP = 0 6 được gọi là giá
của môđun M, kí hiệu là Supp(M)555
Supp(M) = {P ∈ Spec(R)|MP = 0 6 }.
MP = S
ư1M là môđun các thương của R - môđun M theo S = R \ P
Mệnh đề 1.2.2. Cho R là một vành, M là một R - môđun, P là iđêan
nguyên tố của R. Khi đó, P là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu và chỉ
nếu tồn tại một đồng cấu R - môđun nội xạ từ R/P vào M. Do đó, nếu
N là môđun con của M thì Ass(N) ⊆ Ass(M).
Mệnh đề 1.2.3. Cho I là một iđêan bất kì của R. Đặt
V (I) = {P ∈ Spec(R)|I ⊂ P}
(i) Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì Supp(M) = V (ann(M)).
(ii) Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì Supp(R/I) = V (I).
Mệnh đề 1.2.4. Cho R là vành Noether, M là R - môđun khác 0.
(i) Phần tử tối đại của F = {ann(x)|0 =6 x ∈ M} là một iđêan nguyên
tố liên kết của M, đặc biệt Ass(M) =6 ∅
(ii) Tập các ước của không đối với M là hợp tất cả các iđêan nguyên
tố liên kết của M.
Mệnh đề 1.2.5. Cho R là vành và M, N, P là các R - môđun. Nếu dãy
sau đây là khớp 0 → M → N → P → 0 thì ta có các kết quả sau:
(i) Ass(N) ⊂ Ass(M) ∪ Ass(P).
(ii) Supp(N) = Supp(M) ∪ Supp(P).