Thạc Sĩ Sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân bậc một

Đề tài: Sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân bậc một

​LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy PGS. TS. Lê Hoàn Hóa và Thầy TS.Trần Đình
Thanh đã tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán – Tin học Trường Đại
học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi từ ngày đầu tiên vào trường Sư phạm
cho đến khi tôi học Cao học. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn qúy Thầy Cô đã tham gia
giảng dạy lớp Cao học Giải Tích khóa 18.
Tôi cũng gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, khoa Khoa Học Cơ Bản Trường Cao Đẳng
Công Nghệ Thủ Đức đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong công tác để tôi có thể yên tâm
tham gia đầy đủ khóa học.
Tôi xin cảm ơn Khoa Toán – Tin học và Phòng KHCN&SĐH Trường Đại học Sư phạm
TP.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học và hoàn thành luận văn Cao
học .
Sau cùng, tôi xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp, các bạn học viên
lớp Cao học Giải tích K.18 đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt khóa học.
TP. Hồ Chí Minh, Tháng 8 năm 2010
Vũ Thị Lệ Thủy MỞ ĐẦU
Trong thời đại khoa học công nghệ, khoa học sinh học phát triển nhanh chóng như hiện
nay, đã có nhiều nghiên cứu cho thấy những ứng dụng quan trọng của phương trình vi phân đối
số lệch vào các lãnh vực vật lí, sinh học, sinh thái học và sinh lí học.
Nhiều nhà toán học trên thế giới đã và đang tiếp tục nghiên cứu nhiều về phương trình vi
phân đối số lệch. Đặc biệt, quan tâm nghiên cứu sự dao động của nghiệm cho phương trình vi
phân bậc một.
Trên tinh thần tìm hiểu rõ hơn về vấn đề dao động của nghiệm cho phương trình vi phân
trung hòa đối số lệch bậc một loại tuyến tính và không tuyến tính, tôi chọn đề tài này làm nội
dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu trên.
Luận văn đi sâu vào nghiên cứu hai trong những hướng cơ bản của Lý thuyết định tính
phương trình vi phân có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, đó là sự dao động và tính ổn định của
nghiệm cho phương trình vi phân trung hòa đối số lệch bậc một loại tuyến tính và không tuyến
tính.
Luận văn gồm có ba chương. Chương 1, trình bày một số kết quả về sự dao động của
nghiệm cho phương trình vi phân đối số lệch bậc một:
( )
d
x t
dt
+ = 0.
1
( ) ( )
n
i i
i
P t x t a

 
trích từ bài báo 1
Chương 2 của luận văn, khảo sát sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân không
tuyến tính trung hòa đối số lệch bậc một:
 ( ) ( )
d
x t px t a 
dt
  + Q(t) f(x(t - b)) = 0, 0
t t 
trích từ bài báo 2.
Chương 3 của luận văn, trình bày một số kết quả về tính ổn định của nghiệm cho phương trình
vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch bậc một:
 ( ) ( ) ( )
d
x t P t x t a 
dt
  + Q(t) x(t- b) = 0, 0
t t 
trích từ bài báo 3. Trong luận văn một số kết quả được sử dụng sẽ được phát biểu dưới dạng định lí hoặc bổ
đề và không chứng minh. CHƯƠNG 1. SỰ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
Xét phương trình vi phân đối số lệch cấp một:
'
x ( )t + P(t)x(t - a) = 0 (1.1)
trong đó:
i) P(t)  0, là hàm liên tục
ii) a: là hằng số dương
Hay tổng quát hơn:
'
x ( )t + = 0 (1.2)
1
( ) ( )
n
i i
i
P t x t a

 
trong đó:
i) ( ) 0 là những hàm liên tục, với i P t
i
 1,n
ii) là những hằng số dương, với i
i
a 1,n
Với một nghiệm của phương trình (1.1) (hay (1.2)), chúng ta có một hàm x C    , ,
 i
a
t   

 , vớ
  ( hay  
1
 m
 
 ax
i
i n
a ),  t t .
Nghiệm của phương trình (1.1) (hay (1.2)) được gọi là dao động nếu nó có vô số không điểm .
Chúng ta sẽ thiết lập những điều kiện cho sự dao động của nghiệm cho phương trình vi phân
(1.1) (hay (1.2)).
1.1. Những bổ đề.
Bổ đề 1.1:
Nếu
limsup ( ) 0
i
t a
i
t
t
P s ds




với i nào đó và x(t) là một nghiệm dương của phương trình (1.2) thì
( )
liminf
( )
i
t
x t a
 x t

  (1.3)
Chứng minh.
Theo giả thiết, tồn tại hằng số dương d và dãy t
k
 sao cho: , khi k và
, k = 1,2,
k
t     ( )
k i
k
t a
i
t
P s ds d


