Thạc Sĩ Số Fibonacci, dãy lucas

1
Mục lục
Mở đầu 3
1 Các khái niệm, tính chất cơ bản 4
1.1 Dãy Lucas 4
1.2 Các trường hợp đặc biệt của dãy Lucas 4
1.3 Công thức Binet . 6
1.4 Sự phát triển và tính toán số 7
1.5 Các mối quan hệ đại số . 8
1.6 Tính chất chia hết 9
1.7 Một số tính chất của số Fibonacci và số Lucas 12
1.8 Bổ sung các công thức của số Fibonacci, số Lucas . 19
1.9 Số Fibonacci, số Lucas bình phương 28
2 Ứng dụng của số Fibonacci, dãy Lucas trong Toán phổ thông 33
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 452
Mở đầu
Dãy số Fibonacci xuất hiện lần đầu tiên trong cuốn sách Liber Abacci năm
1202 khi Leonardo Fibonacci (hay còn có tên tên khác là Leonardo Pisano)
là một nhà toán học người Ý giải quyết bài toán liên quan đến việc sinh nở
của bầy thỏ. Số Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, với
rất nhiều tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng.
Công trình quan trọng đầu tiên nghiên cứu về số Fibonacci là của nhà
toán học Fran¸cois Édouard Anatole Lucas (1842–1891) được công bố trong
bài seminal của ông năm 1878. Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãy
Lucas bằng tổng của hai số liền trước nó. Dãy số gồm thương giữa hai số
Lucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng. Tuy vậy khác với dãy
Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là L 0 = 2 và L 1 = 1. Chính vì
thế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci.
Hiện nay tài liệu tiếng Việt về số Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng
của dãy Lucas trong Toán phổ thông chưa có nhiều và còn rời rạc. Vì vậy
việc tìm hiểu sâu và giới thiệu số Fibonacci, dãy Lucas là rất cần thiết cho
học tập và giảng dạy, ôn thi học sinh giỏi. Bản luận văn "Số Fibonacci,
dãy Lucas" được tiến hành chủ yếu dựa vào các tài liệu tham khảo.
Bản luận văn "Số Fibonacci, dãy Lucas" gồm có: mở đầu, hai chương
nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1 Các khái niệm, tính chất cơ bản
Trong chương này trình bày định nghĩa số Fibonacci, dãy Lucas và các
trường hợp đặc biệt của dãy Lucas. Một số tính chất của số Fibonacci và
dãy Lucas. Công thức Binet, các mối quan hệ đại số, các công thức số học,
tính chất chia hết và một số công thức của số Fibonacci và số Lucas.
Chương 2 Ứng dụng của số Fibonacci, dãy Lucas trong Toán phổ
thông3
Trong chương này trình bày về một số bài toán ứng dụng của số Fibonacci,
dãy Lucas trong chương trình toán phổ thông, ôn thi học sinh giỏi.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
PGS.TS Nông Quốc Chinh - ĐH Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên. Em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo
hướng dẫn tận tình của thầy.
Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong trường Đại Học Khoa Học
- Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học. Đồng
thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K6B, cùng gia đình
tôi đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này.
Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ luận văn thạc sĩ,
nên chắc chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu
sót, tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp của các Thầy Cô và các bạn
đồng nghiệp.
Tác giả
Nguyễn Thu Trang