Tiểu Luận Sáng kiến kinh nghiệm Những sai lầm thường gặp trong việc giải bài toán về Bất đẳng thức ở bậc THPT

I/ĐẶT VẤN ĐỀ​ Trong chương trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quan trọng. Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình Bất đẳng thức Cauchy được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10 ở tất cả các ban và là bất đẳng thức được vận dụng chủ yếu trong toàn bộ chương trình THPT. Nói đến bất đẳng thức Cauchy thì những ai đã từng học Toán THPT cũng biết, cũng nhớ nhưng để vận dụng được một cách có hiệu quả thì lại là cả một vấn đề.
Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Cauchy thường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề. Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học bất đẳng thức Cauchy sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải quyết một bài toán theo bất đẳng thức Cauchy. NỘI DUNG BÀI VIẾT GỒM:​ I/ ĐẶT VẤN ĐỀ II/NỘI DUNG III/BIỆN PHÁP THỰC HIỆN. IV/KẾT QUẢ V/KẾT LUẬN Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong được sự góp ý chân thành của đọc giả! Thạch Thành, ngày 20/04/2008 ​ II/NỘI DUNG​ Bài 1: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của bất biểu thức: S = a + Bình luận và lời giải​ · Sai lầm thường gặp: S = a + . · Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 mâu thuẫn với giả thiết . · Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của a, và S để dự đoán Min S [TABLE="class: MsoTableGrid"]
[TR]
[TD="width: 36"] a [/TD]
[TD="width: 48"] 3 [/TD]
[TD="width: 49"] 4 [/TD]
[TD="width: 48"] 5 [/TD]
[TD="width: 49"] 6 [/TD]
[TD="width: 49"] 7 [/TD]
[TD="width: 48"] 8 [/TD]
[TD="width: 48"] 9 [/TD]
[TD="width: 54"] 10 [/TD]
[TD="width: 53"] 11 [/TD]
[TD="width: 49"] 12 [/TD]
[TD="width: 47"] ´´´ ´´´ ´´´ [/TD]
[TD="width: 37"] 30 [/TD]
[/TR]
[TR]
[TD="width: 36"] [/TD]
[TD="width: 48"] [/TD]
[TD="width: 49"] [/TD]
[TD="width: 48"] [/TD]
[TD="width: 49"] [/TD]
[TD="width: 49"] [/TD]
[TD="width: 48"] [/TD]
[TD="width: 48"] [/TD]
[TD="width: 54"] [/TD]
[TD="width: 53"] [/TD]
[TD="width: 49"] [/TD]
[TD="width: 47"] ´´´ ´´´ ´´´ [/TD]
[TD="width: 37"] [/TD]
[/TR]
[TR]
[TD="width: 36"] S [/TD]
[TD="width: 48"] 3 [/TD]
[TD="width: 49"] 4 [/TD]
[TD="width: 48"] 5 [/TD]
[TD="width: 49"] 6 [/TD]
[TD="width: 49"] 7 [/TD]
[TD="width: 48"] 8 [/TD]
[TD="width: 48"] 9 [/TD]
[TD="width: 54"] 10 [/TD]
[TD="width: 53"] 11 [/TD]
[TD="width: 49"] 12 [/TD]
[TD="width: 47"] ´´´ ´´´ ´´´ [/TD]
[TD="width: 37"] 30 [/TD]
[/TR]
[/TABLE]
​ Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán khi a = 3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng Min S = đạt tại “Điểm rơi: a = 3” Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau, nên tại “Điểm rơi: a = 3” ta không thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho 2 số a và vì . Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số sao cho tại “Điểm rơi: a = 3” thì tức là ta có lược đồ “Điểm rơi” sau đây · [TABLE]
[TR]
[TD="width: 65, bgcolor: white"] [TABLE]
[TR]
[TD]

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[TABLE]
[TR]
[TD="width: 63, bgcolor: white"] [TABLE]
[TR]
[TD]

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
Sơ đồ:
Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ “Điểm rơi” được nêu ở trên. Lời giải đúng: S = a + =
Với a = 3 thì Min S =