Tiểu Luận Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THPT qua chuyên đề chứng minh đẳng thức đại số bằng phương

I. ĐẶT VẤN ĐỀ Ở trường phổ thông, dạy toán là dạng hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Hoạt động giải bài tập toán học là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn, là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học ở trường phổ thông. Trong chương trình toán ở trường THPT, các bài toán rất phong phú và đa dạng cả về nội dung lẫn phương pháp giải. Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh một phương pháp giải có hiệu quả là một việc rất bổ ích và cần thiết. Việc biến bài toán đại số thành bài toán lượng giác hay “Phương pháp lượng giác hoá các bài toán đại số” là một phương pháp còn chưa được sử dụng rộng rãi khi giải bài tập toán ở trường THPT, đó không phải thích hợp cho mọi bài toán đại số nhưng số lượng bài tập có thể áp dụng phương pháp này cũng không phải là ít. Vì vậy, chúng tôi nghĩ rằng cần nghiên cứu để có cách truyền thụ thích hợp cho học sinh. Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán đại số bằng phương pháp lượng giác cho học sinh tôi chọn đề tài “Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THPT qua chuyên đề chứng minh đẳng thức đại số bằng phương pháp lượng giác”. II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Đưa ra phương pháp chung để giải bài toán đại số bằng phương pháp lượng giác, cơ sở của phương pháp này, các ví dụ minh hoạ về chứng minh đẳng thức đại số bằng phương pháp lượng giác nhằm khắc sâu kiến thức cơ bản và hình thành kỹ năng chứng minh đẳng thức đại số bằng phương pháp lượng giác. III. NỘI DUNG 1. Phương pháp lượng giác hoá các bài toán chứng minh đẳng thức đại số. * Để lượng giác hoá các bài toán ta dựa trên các mệnh đề sau: Mệnh đề I: Nếu –1 £ x £ 1 thì có một số a với - £ a £ sao cho sin a = x và một số b với 0 £ b £ p sao cho cos b = x. Mệnh đề II: Nếu 0 £ x £ 1 thì có một số a và một số b với 0 £ a £ ; 0 £ b £ sao cho x = sina và x = cosb. Mệnh đề III: Với mỗi số thực x có một số a với -< a < sao cho x = tg a. Mệnh đề IV: Nếu các số thực x và y thoả mãn hệ thức x[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP] = 1 thì có một số a với 0 £ a £ 2p sao cho x = cosa và y = sina. * Phương pháp giải: Ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Lượng giác hoá đẳng thức. Bước 1: Thực hiện việc chứng minh đẳng thức lượng giác. * Chú ý: Các em học sinh cần ôn lại các phương pháp chứng minh đẳng thức lượng giác, các kiến thức cơ bản về lượng giác để có thể nhanh chóng tiếp cận được phương pháp này. 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho ½x½ ³ ½y½. Chứng minh ½x + y½ +½x - y½= Giải: Đẳng thức hiển nhiên đúng với x = y = 0. Giả sử x ¹ 0. Chia hai vế đẳng thức cần chứng minh cho ½x½ ta được: + Do ½x½ ³ y ta có: £ 1 nên –1 £ £ 1. Đặt = cos a với a Î [0; p] đẳng thức cuối sẽ là ½1 + cos a½+½1 – cos a½=½1 + sin a½+½1 – sin a½ Bởi vì các biểu thức trong các dấu giá trị tuyệt đối luôn không âm (-1 £ sina, cosa £ 1) nên đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Ví dụ 2: Cho x[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP] = 1 u[SUP]2[/SUP] + v[SUP]2[/SUP] = 1 xu + yv = 0 Chứng minh: a) x[SUP]2[/SUP] + u[SUP]2[/SUP] = 1 b) y[SUP]2[/SUP] + v[SUP]2[/SUP] = 1 c) xy + uv = 0 Giải: Áp dụng mệnh đề IV, tồn tại x = cos a ; y = sin a với 0 £ a 2p và u = cosb và v = sinb với 0 £ b £ 2p. Từ giả thiết: xu + yv = 0 Û cos a cos b + sin a sin b = cos(a – b) = 0 (*) a) ta có: x[SUP]2[/SUP] + u[SUP]2[/SUP] = cos[SUP]2[/SUP]a + cos[SUP]2[/SUP]b = (1 + cos 2a) + (1 + cos 2b) = 1 + (cos 2a + cos 2b) = 1 + cos(a + b) cos(a – b).
Theo (*) vế phải đẳng thức cuối cùng bằng 1 (đpcm). b) y[SUP]2[/SUP] + v[SUP]2[/SUP] = sin[SUP]2[/SUP]a + sin[SUP]2[/SUP]b = (1 – cos 2a) + (1 – cos 2b)
= 1 – cos(a + b) cos(a – b) = 1 (đpcm). c) Tương tự ta có: xy + uv = cos a sin a + cos b sin b = = (sin 2a + sin 2b) = sin(a + b) cos(a – b) = 0 (đpcm).