Thạc Sĩ Quan điểm Vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường Trung học phổ thông (THPT)

Đề tài: Quan điểm Vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường Trung học phổ thông (THPT)
MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong lịch sử phát triển của toán học, hình học vectơ ra đời sau hình học giải
tích (HHGT). Sự ra đời này được phôi thai từ ý tưởng của Leibniz là xây dựng một
hệ thống tính toán trong nội tại hình học, sao cho vừa khai thác được công cụ của
đại số như phương pháp giải tích, lại vừa tận dụng được yếu tố trực quan của
phương pháp tổng hợp trong nghiên cứu hình học.
Tuy ra đời sau, hình học vectơ và HHGT đã được hình thành theo những cách
thức hoàn toàn độc lập với nhau. Nhưng từ khi xuất hiện vectơ thì việc xây dựng
HHGT đã trở nên dễ dàng hơn. Có lẽ vì thế mà ngày nay hầu hết các giáo trình môn
toán, từ phổ thông đến đại học, đều khai thác vectơ để trình bày HHGT. Đặc biệt,
nếu như trước đó việc lập phương trình các đường thẳng, mặt phẳng được giải quyết
theo một cách thức phức tạp và không trọn vẹn, thì giờ đây, với sự xuất hiện của
công cụ vectơ, vấn đề trở nên dễ dàng, đơn giản hơn nhiều. Về vấn đề này, ta biết
rằng tồn tại một cách tiếp cận khác, được đặt trong phạm vi của đại số tuyến tính.
Tuy nhiên, ở bậc phổ thông thì không thể tiếp cận theo cách đó vì học sinh chưa
được nghiên cứu ngành toán học này . Trong trường hợp đó, đ ường thẳng, mặt
phẳng được tiếp cận như thế nào? Ngoài hai cách tiếp cận trên, liệ u còn cách tiếp
cận nào khác ? Cách tiếp cận mà sách giáo khoa toán bậc phổ thông lựa chọn ảnh
hưởng ra sao đến việc dạy và học của giáo viên và học sinh?
Một cách cụ thể hơn, chúng tôi tự đặt ra cho mình hai câu hỏi :
- Q’1 : Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng, mặt phẳng và
các vấn đề liên quan đến chúng đã được tiếp cận như thế nào ?
- Q’2 : Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, những nội dung
này xuất hiện ra sao? Công cụ vectơ đã được khai thác như thế nào trong
việc nghiên cứu chúng? Cách trình bày của sách giáo khoa (SGK) có ảnh
hưởng gì đến việc học HHGT của học sinh?Đề tài Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông mà
chúng tôi theo đuổi nhằm mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi
trên.
Về các đối tượng “đường thẳng, mặt phẳng”, liếc qua chương trình môn toán
hiện đang được áp dụng ở bậc trung học phổ thông (THPT), chúng tôi thấy có một
sự thay đổi quan trọng : nếu như trước kia, các kiến thức về vectơ trong không gian
chỉ được dạy ở lớp 12, sau khi quan hệ vuông góc (giữa các đường thẳng, mặt
phẳng) đã được nghiên cứu ở lớp 11 bằng phương pháp tổng hợp, thì giờ đây,
chương trình quy định sử dụng vectơ ngay từ lớp 11 để nghiên cứu quan hệ này.
Ghi nhận đó càng khiến chúng tôi quan tâm hơn đến vai trò của công cụ vectơ trong
dạy học hình học ở THPT theo chương trình hiện hành. Nó dẫn chúng tôi đến với
việc mở rộng phạm vi nghiên cứu : không chỉ giới hạn trong nội dung HHGT dạy ở
lớp 10 và lớp 12, chúng tôi sẽ xem xét cả vai trò của v ectơ trong việc nghiên cứu
quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ở đây, cần giải thích rõ là trong
phần HHGT dạy ở lớp 12 nội dung này cũng được xem xét, ngay cả theo chương
trình cũ. Vậy cái mới ở đây là gì ? Phải chăng câu trả lời nằm ở chú thích ghi trong
sách giáo viên : “Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không
gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn gàng hơn”. Chúng
tôi sẽ cố gắng làm rõ hơn câu trả lời trong luận văn của mình.
Trong luận văn này chúng tôi dùng thuật ngữ “quan điểm vectơ” với nghĩa xem
vectơ như là công cụ để thiết lập các kiến thức của hình học liên quan đến đường
thẳng và mặt phẳng cũng như những vấn đề liên quan đến chúng mà chương trình
đề cập đến. Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi giới hạn xem xét hai vấn đề :
- Thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng và xét vị trí tương đối giữa
chúng.
- Nghiên cứu quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không
gian.
Cũng do điều kiện hạn chế về thời gian, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu việc dạy
học hình học theo chương trình nâng cao.2. Điểm qua những công trình có liên quan
Liên quan trực tiếp đến đề tài của chúng tôi, bằng tiếng việt, chúng tôi tìm thấy
luận văn thạc sĩ của Hoàng Hữu Vinh (2002) : nghiên cứu didactic toán về hoạt
động của công cụ vectơ trong hình học lớp 10. Luận văn đã chỉ ra được những ứng
dụng của công cụ vectơ trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán hình học,
cho thấy những điểm giống và khác nhau trong cách trình bày của SGK năm 1990
và năm 2000. Đặc biệt, luận văn khẳng định phương pháp sử dụng công cụ vectơ để
giải toán không được khắc sâu trong học sinh như phương pháp tổng hợp. Công cụ
vectơ chỉ luôn sẵn sàng sử dụng ở một số rất ít học sinh. Khi thực hiện các bước
giải toán bằng công cụ vectơ, học sinh còn gặp sai lầm khi biến đổi các biểu thức
vectơ và khó khăn trong việc chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt được kết quả.
Luận văn trên chỉ nghiên cứu vectơ trong chương trình và SGK hình học lớp 10 từ
năm 2000 trở về trước. Ở đó, không có HHGT và việc xây dựng quan hệ vuông góc
trong không gian hoàn toàn không s ử công cụ vectơ. Vì vậy, chúng tôi tiếp tục
nghiên cứu vai trò của công cụ vectơ trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán
HHGT cùng với quan hệ vuông góc trong không gian.
3. Khung lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết Didactic toán. Cụ
thể, chúng tôi sử dụng thuyết nhân học với các khái niệm sau:
3.1. Chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactic)
Trong nhà trường phổ thông, đối với một môn học, người ta không thể dạy cho
học sinh toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích luỹ được trong suốt thời
gian tồn tại trên địa cầu. Hơn nữa, để tri thức bộ môn trở nên có thể dạy được, cần
phải chọn lựa, sắp xếp và tái cấu trúc lại nó theo một liên kết lôgic, phục vụ cho một
mục tiêu dạy học xác định. Chuyển đổi didactic, nói một cách đơn giản, là quá trình
biến đổi một đối tượng tri thức bác học thành một đối tượng tri thức dạy học. Việc
quy định các đối tượng cần dạy được thể hiện thông qua chương trình, SGK, đề thi,
tài liệu ôn thi, nhất là Bộ Giáo dục và Đào tạo, các tiểu ban khoa học giáo dục và
các tác giả SGK.Khái niệm này được vận dụng nhằm xác định khoảng cách giữa tri thức khoa
học và tri thức cần giảng dạy đối với việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt
phẳng, vị trí tương đối và quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phảng. Nó cũng
giúp nghiên cứu tính hợp pháp của tri thức cần giảng dạy và giải thích được một số
ràng buộc của thể chế dạy học ở phổ thông đối với các kiến thức nêu trên.
3.2. Cách đặt vấn đề sinh thái học
Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho
phép sự tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng vectơ, đường thẳng và mặt phẳng
cũng như mối liên hệ giữa chúng, bởi vì như Chevallard đã nói: “ Một đối tượng
tri thức O không tồn tại độc lập trong một thể chế mà nó có mối quan hệ trương hỗ
và thứ bậc với các đối tượng khác trong cùng thể chế. Những đối tượng này đặt điều
kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của nó trong thể chế. Nói cách khác, các đối tượng
này hợp thành điều kiện sinh thái cho cuộc sống của đối tượng tri thức O trong thể
chế đang xét.”
3.3. Quan hệ thể chế
Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà
thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có
vai trò gì, tồn tại ra sao, trong I?
3.4. Quan hệ cá nhân
Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà
cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O,
có thể thao tác O ra sao?
Muốn nghiên cứu R(X,O) ta cần đặt nó trong R(I,O).
3.5. Tổ chức toán học
Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T, τ ,
θ , Θ], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θ là công
nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , còn Θ là lí thuyết giải thích cho công nghệ θ . Một
praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức
toán học (TCTH).Việc phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ
mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá
nhân X duy trì đối với tri thức O. Nói cách khác, nó giúp chúng tôi bổ sung cho
phần trả lời cho câu hỏi Q’2
4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu – phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của
luận văn
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, câu hỏi xuất
phát Q’2 được cụ thể hóa thành những câu hỏi sau:
Q1. Từ cách tiếp cận sinh thái học, trong thể chế dạy học hình học ở phổ thông,
vectơ được đưa vào ở thời điểm nào, nhằm mục đích gì? Nó có quan hệ như thế
nào với những vấn đề khác của chương trình, đặc biệt là với các nội dung về
đường thẳng và mặt phẳng?
Q2. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được thiết lập như thế nào trong SGK
hình học nâng cao lớp 10 và lớp 12 ? Sự chuyển đổi didactic nào đã được thực
hiện trong việc thiết lập đó? Đâu là đặc trưng của quan hệ thể chế đối với công
cụ vectơ trong nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng?
Q3. SGK Hình học 11 nâng cao đưa khái niệm quan hệ vuông góc trong không gian
vào như thế nào? Công cụ vectơ được khai thác ra sao trong việc thiết lập các
kiến thức thuộc phạm vi chương trình về quan hệ vuông góc?
Để phân tích chương trình, đặc biệt là SGK, việc nghiên cứu khoa học luận về
các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng là cần thiết. Thế nhưng, trong điều kiện của
chúng tôi một nghiên cứu tri thức luận đầy đủ được thực hiện thông qua phân tích
lịch sử hình thành tri thức (nhằm làm rõ lý do nảy sinh tri thức, bài toán mà nó cho
phép giải quyết, những vấn đề, những quan niệm gắn liền với nó, ) là không thể.
Vì thế, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của tri thức mà chúng
tôi quan tâm qua việc phân tích một giáo trình đại học . Cách làm này vẫn thường
được thừa nhận trong nhiều công trình của didactic toán, với giả thuyết rằng tri thức
trình bày ở bậc đại học thường khá gần với tri thức bác học. Chúng tôi đặt ra cho
mình một câu hỏi cần phải trả lời trước khi xem xét các câu hỏi Q1, Q2, Q3.Q0. Quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được tiến hành
như thế nào ở bậc đại học? Quan điểm vectơ đã được thể hiện ra sao trong việc
xây dựng đó?
Câu hỏi này là một sự cụ thể hóa của câu hỏi Q’1 mà chúng tôi đặt ra từ đầu khi
bắt đầu quan tâm đến chủ đề nghiên cứu của luận văn. Chúng tôi sẽ phân tích một
giáo trình đại học để tìm câu trả lời cho Q0. Phân tích này sẽ được trình bày trong
chương đầu tiên của luận văn. Qua phân tích đó, chúng tôi sẽ làm rõ cách xây dựng
phương trình đường thẳng, mặt phẳng và vị trí tương đối của chúng. Chúng tôi sẽ cố
gắng đánh giá vai trò của vectơ trong việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt
phẳng; làm rõ những đặc trưng của đối tượng vectơ với tư cách là công cụ của
HHGT. Phân tích này sẽ được thực hiện từ góc độ chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi
didactique). Ngoài ra, để làm nổi bật thấy rõ vị trí của vectơ trong việc thiết lập
phương trình đường thẳng, mặt phẳng , chúng tôi sẽ điểm lại vài nét lịch sử xây
dựng phương trình đường thẳng, cụ thể là cách xây dựng của Fermat.
Chương tiếp theo (chương 2) dành cho một nghiên cứu thể chế, nhằm mục đích
trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Trong chương này chúng tôi phân tích chương
trình và SGK Toán phổ thông của Việt Nam để thấy được vai trò của công cụ vectơ
cũng như các đặc trưng của nó trong nghiên cứu phương trình và mối quan hệ
vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng. Phân tích SGK lớp 10 và lớp 12 ban nâng
cao hiện hành để làm rõ sự chuyển hóa sư phạm đã được thực hiện trong việc thiết
lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng. Phân tích SGK lớp 11 ban nâng cao hiện
hành để nghiên cứu thêm vai trò của vectơ trong việc thiết lập các kiến thức và giải
bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian.
Để thấy rõ đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi quan tâm, chúng tôi sẽ
đặt phân tích chương trình, SGK trong sự so sánh với một thể chế khác. Giả thuyết
công việc được chúng tôi thừa nhận ở đây là : việc so sánh thể chế này với thể chế
kia sẽ cho phép làm nổi rõ những đặc trưng, những điều kiện, những ràng buộc của
mối quan hệ được hình thành trong từng thể chế đối với đối tượng tri thức được
xem xét. Thể chế mà chúng tôi chọn để đối chiếu ở đây là thể chế dạy học Hình học ở THPT của Mỹ theo chương trình hiện hành. Như thế, trước khi phân tích các SGK
Việt nam, chúng tôi sẽ nghiên cứu một cuốn SGK của Mỹ.
Nghiên cứu trình bày ở chương 2 sẽ giúp chúng tôi đưa ra những giả thuyết liên
quan đến câu hỏi Q4, cũng là một phần câu hỏi Q’2 mà chúng tôi đặt ra lúc đầu.
Q4. Cách trình bày của SGK có ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về phương
trình đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ vuông góc trong không gian?
Giả thuyết này cần phải được kiểm chứng bằng một nghiên cứu thực nghiệm.
Chương cuối cùng (chương 3) của luận văn dành cho việc trình bày những kết quả
đạt được từ nghiên cứu này.
Phương pháp luận nghiên cứu và cấu trúc của luận văn được chúng tôi tóm tắt
bằng sơ đồ dưới đây.
NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN
NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ
(tham khảo)
NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ
Quan điểm so sánh
Giả thuyết về ảnh hưởng của thể chế
NGHIÊN CỨU
THỰC NGHIỆM