Thạc Sĩ Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NĂM– 2011

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn i
Lời nói đầu ii
Bảng kí hiệu iii
Mục lục . iv

Chương I Một số kiến thức cơ bản

1.1 Quá trình Levy . 1
1.2 Tích phân theo quá trình Levy . 5
1.3 Phương trình Langevin 9
1.3.1 Phương trình vi phân hình học và nghiệm của nó . 9
1.3.2 Phương trình vi phân Levy hình học 12
1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính . 18
1.3.4 Phương trình Langevin 19
1.4 Quá trình tự đồng dạng 20
1.5 Phân phối ổn định và quá trình ngẫu nhiên ổn định 22
1.5.1 Phân phối ổn định 22
1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên ổn định . 26

Chương II Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo
ngẫu nhiên độc lập phân tán
2.1 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck . 28
2.2 Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck dừng . 32
iv
2.3 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu
nhiên độc lập phân tán . 38

Chương III Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt
3.1 Phân phối α -tự phân 47
3.2 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt . 49

KẾT LUẬN 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

LỜI NÓI ĐẦU
Trong lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên, khi giải phương trình vi phân tuyến tính dạng Langevin ta sẽ gặp quá trình Ornstein – Uhlenbeck. Quá trình Ornstein – Uhlenbeck là quá trình ngẫu nhiên được đặt theo tên của hai nhà Vật Lý Leonard Ornstein (1900 – 1988) và George Eugene Uhlenbeck (1880 – 1941). Tuy loại quá trình này đã được nhiều nhà Toán học đề cập đến nhưng nó có khá nhiều ứng dụng trong thực tế nên quá trình Ornstein – Uhlenbeck vẫn luôn được các nhà khoa học nghiên cứu và mở rộng.

Khi xét lớp các quá trình ngẫu nhiên liên quan đến quá trình dẫn Levy, chúng tasẽ gặp những quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck. Để nghiên cứu về loại quá trình này ta cần xét đến sự liên quan của nó với những lớp quá trình ngẫu nhiên khác như quá trình α -tự phân, quá trình tự đồng dạng, .
Xuất phát từ tích phân theo quá trình Wiener, Toán học mở rộng dần sang tích phân theo quá trình Levy. Trong bản luận văn này tác giả nghiên cứu đến một lớp quá trình rộng hơn, có tính bao quát hơn nữa, đó là quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán, đồng thời giới thiệu về sự liên quan giữa phân phối α -tự phân và quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck.

Luận văn này được chia thành 3 chương:
ã Chương I: Một số kiến thức cơ bản.
ã Chương II: Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu nhiên độc lập phân tán.
ã Chương III: Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt.