Thạc Sĩ Phương trình với toán tử lồi hoặc lõm trong không gian có thứ tự

Đề tài: Phương trình với toán tử lồi hoặc lõm trong không gian có thứ tự
LỜI CẢM ƠN
PGS.TS Nguyễn Bích Huy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này.
Quí thầy cô của trường đã nhiệt tình giảng dạy trong quá trình em
học tập tại trường và đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này.
Tp.HCM, tháng 8 năm 2008
Học viên
Phan Lê Thanh Huyền MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành từ
những năm 1940 trong các công trình của Krein, Rutman, Krasnoselskii, và
tiếp tục được phát triển, hoàn thiện cho đến ngày nay. Lý thuyết này tìm được
các ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các phương trình xuất phát từ những lĩnh
vực khoa học khác nhau như Vật lý, Hóa học, Sinh học và Kinh tế. Bằng việc
xét các nón thích hợp ta có thể chứng minh sự tồn tại các nghiệm của phương
trình có các tính chất đặt biệt như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi.
Trong lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp
phương trình với toán tử lồi hoặc lõm đóng vai trò đặc biệt. Đối với lớp
phương trình này ta có thể chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm,
tính gần đúng nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả cơ bản về lớp
phương trình với toán tử lồi hoặc lõm.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Điểm bất động của toán tử lồi hoặc lõm trong không gian các thứ tự.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài
Giải phương trình với toán từ lồi hoặc lõm trong không gian có thứ tự/
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn có 3 chương.
Chương 1: trình bày một số các tính chất đặc trưng của ánh xạ lồi, tương
tự các tính chất quen thuộc của hàm lồi một biến.
Chương 2: xét sự tồn tại và duy nhất điểm bất động của ánh xạ có liên
quan tới tính lõm.
Chương 3: khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ có tính chất lõm.
Vì khả năng và thời gian hạn chế nên bản luận văn chắc có thể thiếu
sót, em rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và độc giả. CHƯƠNG 1
ÁNH XẠ LỒI,
CÁC ĐIỀU KIỆN ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ LỒI
1.1 ÁNH XẠ LỒI:
Định nghĩa 1.1 : Cho X là không gian Banach thực
1). Tập K X Ì gọi là một nón nếu K là tập đóng, thỏa mãn các
tính chất :
i) K K K + Ì , l Ì K K "l ³ 0
ii)K K Ç - = q ( ) { }.
2). Nếu K là một nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định
nghĩa như sau
x, y X Î , x £ y y x K  - Î .
3). Nếu nón K có IntK ¹ Æ thì ta định nghĩa
x  y y x IntK  - Î
Định nghĩa 1.2 :
Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K
1). K gọi là nón chuẩn nếu tồn tại số N > 0 sao cho với mọi
x, y K Î , 0 £ £x y x N y  £
2). K gọi là nón chính qui nếu mỗi dãy đơn điệu tăng, bị chặn trên
thì hội tụ.
3). K gọi là nón hoàn toàn chính qui nếu mỗi dãy đơn điệu tăng,
bị chặn theo chuẩn thì hội tụ.
Định nghĩa 1.3 : Cho các không gian Banach X Y, được sắp bởi các
nón , , K K D X x y
Ì là tập lồi. Ánh xạ f : D Y  gọi là lồi nếu:
f [ ] [ ] x t y x f x t f y f x + - £ + - ( ) ( ) ( ) ( ) với " Ît (0,1) và " Î ¹ x, , y D x y
và so sánh được với nhau (nghĩa là x £ y hoặc y x £ ).