Thạc Sĩ Phương trình trên nhóm abel hữu hạ„n

LỜI MỞ ĐẦU

Một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết số là tìm nghiệm và xét tính chất nghiệm hữu tỉ của phương trình. Nghiệm của một phương trìnhtrên các nhóm Abel hữu hạn (đặc biệt là trên các trường hữu hạn) có quanhệ mật thiết với nghiệm hữu tỉ cũng như nghiệm phức của phương trình đó.Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn là một đối tượng đã được các nhàtoán học nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn còn được quan tâm rộng rãi.Một trong các khía cạnh nghiên cứu của vấn đề này là bài toán xác định sốnghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Luận văn Phương trìnhtrên nhóm Abel hữu hạn nhằm tìm hiểu về nghiệm của phương trình trênnhóm Abel hữu hạn và nghiệm của các phương trình đồng dư trên vành cácsố nguyên.Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương, trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở Chương 2 và Chương 3.Trong phần đầu của Chương 1 chúng tôi trình bày khái niệm các đặc trưngcủa nhóm hữu hạn và các khái niệm cần thiết cho các phần sau. Tiếp theochúng tôi trình bày chi tiết về nhóm các đặc trưng và hệ thức trực giao củacác đặc trưng. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số đặc trưng cụ thể trêntrường hữu hạn Fqcũng như ý nghĩa của nó qua tổng Gauss trên trường hữuhạn (các Mệnh đề 1.4.9, 1.4.11).Trong Chương 2 chúng tôi trình bày về phép biến đổi Fourier trên nhómAbel hữu hạn và một số ứng dụng. Chúng tôi bắt đầu từ việc xây dựng cácđịnh nghĩa, ví dụ cũng như những tính chất cơ bản của phép biến đổi Fouriertrên nhóm Abel hữu hạn (Đẳng thức Parseval, các Mệnh đề 2.1.10, 2.1.12).Sau đó chúng tôi đã sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier để chứng minh Luật thuận nghịch bậc hai và giải bài toán tìm số nghiệm của phươngtrình trên nhóm Abel hữu hạn. Phần cuối của chương là chứng minh Định lýFermat trên trường hữu hạn.Trong Chương 3 chúng tôi trình bày về tổng Jacobi và ứng dụng của nó.Phần đầu chúng tôi giới thiệu khái niệm và các tính chất cơ sở của tổng Jacobi.Từ đó chúng tôi làm rõ được với mỗi số nguyên tố p có dạng pf đềulà tổng của bình phương của hai số nguyên. Phần sau chúng tôi sử dụng tổngJacobi để tìm số nghiệm của phương α1xk11nxknnp.Đồng thời giải một số bài toán về số nghiệm của phương trình đồng dư dạngA1xm112xm22còn sử dụng phần mềm Maple để kiểm tra lại các kết quả tính toán từ cácví dụ minh họa.Cuối cùng, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS.Nguyễn An Khương, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện luậnvăn này. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, PhòngSau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn; Trường THPT PhanĐình Phùng -ĐăkLăk đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học.Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡtôi trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học cũng như thực hiện đề tài.Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã cùng chia sẻ, động viên vàgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn nhiệt tình củathầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạnchế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhậnđược sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn