Thạc Sĩ Phương trình tích phân ngẫu nhiên

MỞ ĐẦU

Từ cuối thế kỉ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phép tính vi phân và tích phân cổ điển. Tới nửa đầu thế kỉ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu được xây dựng. Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên thì phép tính tích phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ quan trọng ứng dụng nhiều trong toán học, vật lý, sinh học và kinh tế. Trong phương trình toán tử tuyến tính, phương trình tích phân ngẫu nhiên giúp cho việc nghiên cứu toán học hiện đại mang lại nhiều kết quả. Trong luận văn "Phương trình tích phân ngẫu nhiên" này, chúng ta xét hai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên là Fredholm và Volterra. Ngoài ra, chúng ta xét một số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến.
Chúng được quan tâm lớn và có tầm quan trọng trong nhiều nhánh của khoa học, kinh tế và công nghệ. Đặc biệt, những phương trình tích phân phi tuyến xuất hiện trong những hiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xây dựng phương trình tích phân của những phương trình vi phân phi tuyến.

Mục lục
LỜI CẢM ƠN 3
MỞ ĐẦU 3
1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1 Phương trình tích phân tất định: . 5
1.1.1 Giới thiệu: . 5
1.1.2 Phương trình Fredholm loại 2 với hạch suy biến: 9
1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến: 11
1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên . 12
1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 25
1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục . 25
1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: . 29
2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀ VOLTERRA 33
2.1 Phương trình Fredholm và Volterra với hàm vế phải là ngẫu nhiên 33
2.1.1 Giới thiệu: . 33
2.1.2 Nghiệm của phương trình tích phân: . 34
1
2.1.3 Nghiệm của hàm hiệp phương sai: 37
2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình của nghiệm: 40
2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: 41
2.2 Hạch K(x, y, ω) là ngẫu nhiên suy biến . 42
2.3 Hạch K(x, y, ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian các hàm gián đoạn vừa phải . 44
3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 49
3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên . 49
3.1.1 Thiết lập phương trình tích phân của một số các
phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên . 49
3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên trong
không gian các hàm liên tục: . 57
3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên 58
3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch
ngẫu nhiên và vế phải ngẫu nhiên 62
3.3.1 Giới thiệu: . 62
3.3.2 Tồn tại và duy nhất: . 64
Tài liệu tham khảo 67