Thạc Sĩ Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa số hạng Memory ở một phần biên trái

Đề tài: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa số hạng Memory ở một phần biên trái
LỜI CẢM ƠN
Lời ựầu tiên, tôi xin kính gởi ựến TS. Nguyễn Thành Long, lời cám ơn sâu
sắc về sự giúp ựỡ tận tình của Thầy ựối với tôi trong suốt khóa học và nhất là
trong việc hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cám ơn PGS. TS Nguyễn Bích Huy và TS. Lê Thị Phương
Ngọc, cùng tất cả quý Thầy Cô trong Hội ựồng chấm luận văn ựã dành thời gian
ựọc và cho những ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình bổ ích ựối với luận
văn của tôi.
Tôi cũng xin cám ơn tất cả quý Thầy Cô Khoa Toán của Trường đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh
ựã tận tình giảng dạy và truyền ựạt những kiến thức bổ ích trong suốt khóa học tại
Trường đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.
Xin cám ơn quý Thầy Cô công tác tại Phòng Khoa học Công nghệ - Sau đại
học, Trường đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh ựã tạo mọi ựiều kiện thuận lợi về
mặt thủ tục hành chính cho tôi trong suốt khóa học.
Xin gởi lời cám ơn ựến Ban Giám hiệu và ựồng nghiệp của Trường THPT
chuyên Lê Quý đôn, Ninh Thuận ựã tạo ựiều kiện và khích lệ tôi trong suốt quá
trình học.
Xin chân thành cám ơn các bạn trong nhóm sinh hoạt chuyên môn, nhất là các
anh Phạm Thanh Sơn, ThS Nguyễn Văn Ý - những người ựã ựóng góp cho tôi
những ý kiến hết sức quý báu về chuyên môn, cũng như tạo ựiều kiện thuận lợi ựể
tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin cám ơn các bạn học viên Cao học Khóa 17 và các bạn ựồng nghiệp
ựã hỗ trợ tôi trong thời gian học.
Cuối cùng, tôi xin gởi lời cám ơn sâu sắc ựến gia ựình tôi, là chỗ dựa cho tôi
về mọi mặt và dành mọi ựiều kiện tốt nhất ựể tôi học tập và hoàn thành luận văn
này.
Nguyễn Bằng Phong 1
Chương 1. PHẦN MỞ đẦU
Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp hàm (u P, ) thỏa:
0 1
( ) ( ) ( , ), 0 1, 0 ,
( ) (0, ) ( ),
( ) (1, ) (1, ) 0,
( , 0) ( ), ( , 0) ( ),
tt xx t
x
x
t
u t u u F u f x t x t T
t u t P t
t u t hu t
u x u x u x u x
ộ λ
ộ
ộ
 ư + + = < < < <
=

 + =
= =

ɶ ɶ
(1.1)
trong ựó
0
( ) ( ) ( ) (0, ) ,
t
P t = g t + ư k t s u s ds
∫
(1.2)
λ,h là các hằng số cho trước,
0 1 ộ, uɶ ɶ , u , , g f, , F k là các hàm cho trước thỏa các
ựiều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Trong [5], Nguyen Thanh Long, Le Van Ut và Nguyen Thi Thao Truc ựã thiết lập
một ựịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (1.1)(1)
, (1.1)(4)
với ựiều kiện biên:
(0, ) 0,
( ) (1, ) ( ),
x
u t
ộ t u t Q t
 =

ư =

(1.3)
trong ựó
1 1
0
( ) ( ) (1, ) ( ) (1, ) ( ) ( ) (1, ) ,
t
Q t
t = K t u t +λ t u t ưg t ư ư k t s u s ds
∫
(1.4)
1 1
g K, , λ là các hàm cho trước.
Tổng quát hóa kết quả trong [5], Le Thi Phuong Ngoc, Le Nguyen Kim Hang,
Nguyen Thanh Long ựã xét một dạng khác của bài toán (1.1)(1)
, (1.1)(4)
với ựiều
kiện biên:
0 0
0
1 1
0
(0, ) (0, ) ( ) ( ) (0, ) ,
(1, ) (1, ) ( ) ( ) (1, ) ,
t
x
t
x
t u t g t k t s u s ds
t u t g t k t s u s ds
ộ
ộ

= + ư

ư = + ư

∫
∫
(1.5)
mà (1.3)- (1.4) ựược xét như một trường hợp riêng. 2
Bài toán (1.1)- (1.2) ược khảo sát trong luận văn này là một sự tổng quát hóa
một phần kết quả trong [5] với F là một hàm theo u , ựồng thời ựây cũng là một
dạng khác của bài toán ựược khảo sát trong [9].
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn
cục của bài toán (1.1)-(1.2). Việc chứng minh ựược dựa vào phương pháp xấp xỉ
Galerkin, các kỹ thuật ựánh giá tiên nghiệm cùng với các kỹ thuật hội tụ yếu dựa
vào tính compact. Dựa vào kết quả này, chúng tôi tiến ựến việc khảo sát tính trơn,
tính ổn ựịnh của nghiệm theo một bộ dữ liệu (λ ộ j
,
j
, , h
j
g
j
, , k f
j j) với
0 1 F, , u u ɶ ɶ là
các hàm cố ựịnh cho trước. Cuối cùng là kết quả về việc nghiên cứu khai triển tiệm
cận theo một tham số λ khi λ 0 → +
cho bài toán:
( ) 0 1
0 1
( ) ( ) ( , ), 0 1, 0 ,
( ) (0, ) ( ), ( ) (1, ) (1, ),
( , 0) ( ), ( , 0) ( ),
tt xx t
x x
t
Lu u t u F u u f x t x t T
Q L u t u t P t L u t u t hu t
u x u x u x u x
λ
ộ λ
ộ ộ
 ≡ ư = ư ư + < < < <
 ≡ = ≡ = ư
= =

ɶ
ɶ ɶ
trong ựó ( ) ( ) ( ) (0, ) .
t
P t = g t + ư k t s u s ds
∫
0
Theo kết quả về khai triển tiệm cận của bài toán ( ) Qɶ
λ
, chúng tôi ựã xấp xỉ
ựược nghiệm yếu u t( ) trong bài toán (1.1)-(1.2) dưới dạng một ựa thức theo λ :
0
( , ) ( , )
N
i
i
i
u x t U x t λ
=
≈ ∑ trong ựó ( , ) Ui
x t là các hàm ựược xác ựịnh từ những hệ
phương trình vi phân tuyến tính ựơn giản hơn.
Các kết quả liên quan ựến bài toán xấp xỉ tiệm cận theo một tham số ựã ựược
một số các tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Ngoc, Hang, Long [9], Long, Ngoc
[7], Long, Ut, Truc [5].
Luận văn ựược trình bày theo các chương mục sau:
Chương 1: Phần mở ựầu nêu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn,
ựiểm qua các kết quả ựã có trước ựó, ựồng thời nêu bố cục của luận văn.
Chương 2: Chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại 3
một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không
gian hàm.
Chương 3: Chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài
toán (1.1)-(1.2) cho trường hợp
1 2
0 1 uɶ ɶ ∈ ∈ H , u L .
Chương 4: Chúng tôi khảo sát tính trơn của nghiệm khi
2 1
0 1 uɶ ɶ ∈ ∈ H , u H .
Chương 5: Chúng tôi nghiên cứu tính ổn ựịnh của nghiệm bài toán (1.1)-(1.2)
theo bộ dữ liệu (λ ộ, , h, g, , k f) với
0 1 F, , u u ɶ ɶ là những hàm cố ựịnh cho trước.
Chương 6: Chúng tôi nghiên cứu bài toán khai triển tiệm cận của nghiệm khi
λ 0 → +
.
Kế ựến là phần kết luận của của luận văn và sau cùng là danh mục các tài liệu
tham khảo. 4
Chương 2. MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ
2.1. Các không gian hàm
ặt (0,1), (0, ), 0 Ω = QT = Ωừ > T T . Bỏ qua ựịnh nghĩa các không gian hàm
thông dụng ( ) ( ) ( )
1,
, ,
m p p
C Ω L W Ω Ω (có thể xem trong [1]), và kí hiệu
( )
1 1
H H Ω = , ( )
2 2
H H Ω = là các không gian Sobolev thông dụng.
Ta ựịnh nghĩa ( )
2
L Ω là không gian Hilbert với tích vô hướng
1
2
0
u,v = ∈ u x( )v(x)dx; u, . v L
∫
(2.1)
Kí hiệu || ⋅ || là chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), khi ựó:
1
2 2 2
0
u = u,u = ∈ u (x)dx, . u L
∫
(2.2)
Trên
1
H ta sử dụng chuẩn sau:
1
2 2 2 1
|| || || || || || ,
H
x
v = v + ∈ v v H . (2.3)
Ta có kết quả sau:
Bổ ựề 2.1 Phép nhúng ( )
1 0
H C Ω là compact và
( ) v v C H
0 1
Ω ≤ 2 . (2.4)
2.2. Không gian hàm (0, ; ), 1 .
p
L T X p ≤ ≤ ∞
Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || ||
X
⋅ .Ta kí hiệu (0, ; ),
p
L T X
1 ≤ p ≤ ∞ là không gian các lớp tương ựương của hàm u 0,T X ) → ựo ựược
sao cho:
0
( )
T
p
X ∫
u t dt < ∞ với 1 , ≤ p < ∞
hay
0 : ( ) , (0, ) M X
∃ > u t ≤ M ∀ ∈t T với p = ∞. (2.5)
Trên (0, ; ), 1
p
L T X p ≤ ≤ ∞, ta trang bị một chuẩn xác ựịnh bởi 5
1
(0, ; )
0
p ( )
T p
p
L T X
X
u u t dt
 
 
=
 
∫
với 1 , ≤ p < ∞
hay L
p
(0,T X; ) ( )
X
u = essup u t
= inf {M > 0 : u(t)
X ≤ M, ∀ ∈t T ( ) 0, } với p = ∞. (2.6)
Khi ựó ta có các bổ ựề sau ựây mà chứng minh của chúng có thể ựược tìm thấy
trong Lions[2].
Bổ ựề 2.2. (0, ; ), 1
p
L T X p ≤ ≤ ∞ là một không gian Banach.
Bổ ựề 2.3. Gọi X′ là không gian ựối ngẫu của X . Khi ựó (0, ; )
p
L T X
′
′ với
1 1
1, 1 p
p p
+ = ≤ ≤ ∞
′
là ựối ngẫu của (0, ; )
p
L T X . Hơn nữa, nếu X phản xạ thì
(0, ; )
p
L T X cũng phản xạ.
Bổ ựề 2.4. ( )
1
L (0,T;X) L (0,T X; )
′ ∞
= ′ . Hơn nữa, các không gian
1
L (0,T X; ),
L (0,T X; )
∞
không phản xạ.
Ghi chú 2.1. Nếu
p
X L = thì ta kí hiệu (0, ; ) ( (0, . ))
p p
L T X = L T Ωừ
2.3. Phân bố có giá trị vectơ
định nghĩa 2.1
Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D T (0, )
vào X ựược gọi là một phân bố (hàm suy rộng) có giá trị trong X.
Tập các phân bố có giá trị trong X ựược kí hiệu là:
D′( ) 0,T;X = L(D(0,T);X) = → {f : D(0, ) T X f tuyeán tính lieân tuỉc} .
Ghi chú 2.2. Ta kí hiệu D T (0, ) thay cho (0, ) C T c
∞
ựể chỉ không gian các hàm
thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0,T).
định nghĩa 2.2.
Cho f ∈ D′(0, ; T X). Ta ựịnh nghĩa : (0, )
df
D T X
dt
→ xác ựịnh bởi 6
, , , (0, )
df d
f D T
dt dt
ϕ
ϕ ϕ = ư ∀ ∈ . (2.7)
Ta dễ dàng nghiệm lại rằng ( ) 0, ;
df
D T X
dt
∈ ′ và
df
dt
ựược gọi là ựạo hàm của f
theo nghĩa phân bố.
Các tính ch t
1) Cho (0, ; )
p
v ∈ L T X . đặt tương ứng nó với ánh xạ : (0, ) Tv D T X → xác
ựịnh như sau :
0
, ( ) ( ) , (0, )
T
Tv ϕ = ∫
v t ϕ ϕ t dt ∀ ∈ D T . (2.8)
Ta có thể nghiệm lại rằng (0, ; ) Tv ∈ D′ T X . Thật vậy:
i) Ánh xạ : (0, ) Tv D T X → hiển nhiên là tuyến tính.
ii) Ta nghiệm lại ánh xạ : (0, ) Tv D T X → là liên tục.
Giả sử { } (0, ) ϕj ⊂ D T thỏa ϕj → 0 trong D T (0, ), ta có :
0 0
, ( ) ( ) ( ) ( )
T T
v j j j
X X
X
T ϕ = ≤ v t ϕ ϕ t dt v t t dt
∫ ∫
1 1
0 0
( ) ( ) 0
T T p p
p p
j
X j
X
v t dt ϕ t dt
′
′
→+∞
   
   
≤     →
   
∫ ∫
.
Do ựó, Tv j
, 0 ϕ → trong X khi j → +∞. Vậy (0, ; ) Tv ∈ D′ T X .
2) Ánh xạ : (0, ) Tv D T X → là một ựơn ánh từ (0, ; )
p
L T X vào D′(0, ; T X). Do
ựó, ta có thể ựồng nhất T v
v = . Khi ựó, ta có kết quả sau.
Bổ ựề 2.5. (Lions[2]) (0, ; ) (0, ; )
p
L T X ⊂ D′ T X với phép nhúng liên tục.
2.4. đạo hàm trong (0, ; )
p
L T X .
Do bổ ựề 2.5, (0, ; )
p
f ∈ L T X có thể xem như là một phần tử của D′(0, ; T X),
nghĩa là f ∈ D′(0, ; T X). Do ựó,
df
dt
cũng là một phần tử của D′(0, ; T X). 7
Ta có kết quả sau:
Bổ ựề 2.6. (Lions[2]) Nếu
1
f ∈ L (0,T X; ) và
1
f ′ ∈ L (0,T X; ) thì f bằng hầu
hết với một hàm liên tục từ [0,T X ] → .
Bổ ựề 2.7 (Lions[2]) Nếu (0, ; )
p
f ∈ L T X và (0, ; )
p
f ′ ∈ L T X thì f bằng hầu
hết với một hàm liên tục từ [0,T X ] → .
2.5. Bổ ựề về tính compact của Lions[2]
Cho ba không gian Banach
0 1 X , , X X với X0 1 ⊂ ⊂ X X và các phép nhúng
liên tục sao cho :
i)
0 1 X X, là phản xạ. (2.9)
ii) Phép nhúng X X 0 là compact. (2.10)
Với 0 <T < ∞, 1 ≤ p i
i ≤ ∞ = , 0,1 ta ựặt
( ) { ( ) ( )}
0 1
0 0 1
, 0, ; : 0, ; W p p
T = v ∈ ∈ L T X v′ L T X . (2.11)
Ta trang bị W T (0, ) một chuẩn
( ) ( ) ( )
0 1
0 0 1
, 0, ; 0, ; W p p v T = + v v L T X L T X . (2.12)
Khi ựó, W T (0, ) là một không gian Banach. Hiển nhiên ( ) ( )
0
0, 0, ; W p
T ⊂ L T X .
Ta cũng có kết quả sau ựây về phép nhúng compact.
Bổ ựề 2.8. (Bổ ựề về tính compact của Lions [2]) Với các giả thiết (2.10),
(2.11) và nếu 1 < p i
i < ∞ = , 0, 1 thì phép nhúng ( ) ( )
0
0, 0, ; W p
T L T X là
compact.
Bổ ựề 2.9. (Bổ ựề về sự hội tụ yếu trong ( )
p
L Q [1]) Cho ℝ
N
Q ⊂ là tập mở,
bị chặn, , ( ), 1
p
Fm χ ∈ L Q p < < ∞ sao cho
( ) m p
L Q
F C ≤ và Fm → χ hầu khắp
nơi trên Q , trong ựó C là hằng số ựộc lập với m . Khi ựó: Fm → χ yếu trên ( )
p
L Q .
2.6. định lý Schauder Cho K là tập lồi, ựóng, khác rỗng của không gian
Banach E và T : K K → là ánh xạ liên tục sao cho bao ựóng T K( ) của T K( )
là tập compact. Khi ựó T có ít nhất một ựiểm bất ựộng.
2.8. định lý Arzela-Ascoli Cho T > 0 , ký hiệu ([0, ;] )
m
X = C T ℝ là không 8
gian Banach các hàm liên tục : [0, ]
m
f T → ℝ ựối với chuẩn
( ) ( ) 1
0
1
sup , , ., .
m
X j m
t T j
f f t f f f X
≤ ≤ =
= ∑ = ∈
Giả sử Y X ⊂ thỏa:
i) Y bị chặn ựều, tức là 0 : , . M X
∃ > f ≤ M ∀ ∈f Y
ii) Y liên tục ựồng bậc (ựẳng liên tục), tức là
[ ] thì ( ) ( )
1
0, 0 : , 0, , sup
m
j j
f Y j
ε δ t t T t t δ ε f t f t
∈ =
∀ > ∃ > ∀ ′ ∈ ư ′ ′ < ∑ ư < .
Khi ựó Y compact tương ựối trong X .
2.9. B t ựẳng thức Gronwall Giả sử f T : [0, ] → ℝ là hàm khả tích, không âm
trên [0,T ] và thỏa ( ) ( )
1 2
0
,
t
f t ≤ + C C f d τ τ
∫
a.e. t T ∈[0, ,] với
1 2 C C, là các
hằng số không âm. Khi ựó
( ) ( ) 1 2
f t ≤C exp , C t a.e. t T ∈[0, ].
2.10. Các kí hiệu
Ta dùng các kí hiệu ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) u t tt x xx
′ t = u t u′′ t = u t u = ∇u t u = ∆u t ựể
lần lượt chỉ
2 2
2 2
( , ), ( , ), ( , ), ( , )
u u u u
x t x t x t x t
t t x x
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
.