Thạc Sĩ Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt

Đề tài: Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt
Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long
lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong
suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Bích Huy và Thầy Nguyễn
Công Tâm đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi.
Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa
Toán – tin học, trường Đại Học Sư Phạm và trường Đại Học Khoa học –Tự
nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức
trong suốt thời gian tôi học tập và làm việc.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý sau Đại học Trường
Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tôi về thủ tục hành chính trong khóa học.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh Đạo trường, Bộ môn
Toán - Khoa Khoa học, trường Đại học Nông Lâm Thành phố Hồ Chí
Minh đã tạo điều kiện thuận lợi mọi mặt để tôi có thể yên tâm học tập và
làm việc.
Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn thân thương nhất đến gia đình tôi -chỗ
dựa tinh thần trong cuộc sống của tôi bây giờ và mãi sau này, đã tạo điều
kiện tốt nhất giúp tôi hoàn thành bản luận văn này và anh Nguyễn Hữu
Thái – người đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc in ấn tài liệu cũng như sửa
chữa luận văn.
Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh
khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp
ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp.
Tp.HCM, ngày 20 tháng 11 năm 2006
Lê Nguyễn Kim Hằng 1
MỞ ĐẦU
Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát bài toán
u t
tt xx t ư + = < à( ) , , , 0 1, 0 , u f (u u F ) ( x t x t ) < < < T (0.1)
u t P x ( ) 0, , = (t) (0.2)
u t u t
x t ( ) 1, 1, 0, + = λ1 ( ) (0.3)
u x u x u x u x ( ) ,0 , ,0 , = = 0 1 ( ) t ( ) ( ) (0.4)
trong đó
( ) , ,
t t
f u u Ku u = + λ (0.5)
và à ,
0 1
u u F , , là những hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau,
1 K, , λ λ là các hằng số không âm cho trước. Hàm chưa biết u x t ( ) , và giá trị biên
chưa biết P t( ) thỏa phương trình tích phân tuyến tính sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
0, 0, ,
t
P t g t K u t k t s u s ds = + ư ư
∫
(0.6)
với K0
là hằng số cho trước, và g k, là những hàm cho trước.
Trong trường hợp này, bài toán (0.1 0.5 ) ư ( ) là mô hình toán học mô tả sự
va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền
chịu tác dụng của lực cản nhớt. Một bài toán khác cùng loại bài toán này cũng
được thành lập từ bài toán (0.1) – (0.4), trong đó hàm chưa biết u x t ( ) , và giá trị
biên chưa biết P t( ) thỏa một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường
dưới đây
( ) ( ) ( )
//
0
0, , 0 , P t P t K u t t T + = < ω tt < (0.7)
( ) ( )
/
0 1 P P 0 , 0 , = = P P (0.8)
trong đó
0 0 1 ω > ≥ 0, 0, , K P P là các hằng số cho trước.
Từ ( ) 0.7 và ( ) 0.8 ta biểu diễn P t( ) theo , , , , 0
0 0 1 ( ) , ω K P P u t
tt
và sau đó
tích phân từng phần, ta được
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( )
0
0, sin 0, ,
t
P t g t K u t K t s u s ds = + ư ư ω ω
∫
(0.9) 2
trong đó
( ) 0 0 0 1 0 ( ) ( ) 1 ( )
sin
( ) 0 cos 0 .
t
g t P K u t P K u
ω
ω
ω
= ư + ư (0.10)
Chú ý rằng công thức (0.9) xác định P t( ) cùng dạng (0.6) với
( ) 0
k t K t = ωsin . ω (0.11)
Bằng cách khử ẩn hàm P t( ), ta thay thế điều kiện biên (0.2) bởi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
0, 0, 0, .
t
x
u t g = + ư ư t K u t k t s u s ds
∫
(0.12)
Khi đó, chúng ta đưa bài toán (0.1 0.4 , 0.7 , 0.8 ) ư ( ) ( ) ( ) về ( ) 0.1 0.4 , ư ( )
( ) ( ) 0.9 0.11 ư hay (0.1), (0.3), (0.4), (0.12).
Trước đây, các tác giả Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều [1] đã
nghiên cứu một trường hợp riêng của bài toán (0.1 , 0.2 , 0.4 , 0.7 , 0.8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) và
u t ( ) 1, 0 = với à ( )t =1,
0 1 0
u u P = = = 0 và f (u u Ku u ,
t t ) = + λ , trong đó K,λ là
các hằng số không âm cho trước. Bài toán này là mô hình toán học mô tả sự va
chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền
cứng [1]. Như vậy, bài toán nghiên cứu trong luận văn này tương tự với bài toán
được xét trong [1].
Trong [2], Đặng Đình Áng và Alain Phạm Ngọc Định đã thiết lập định lý
tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục cho bài toán giá trị biên và ban đầu (0.1),
(0.2), (0.4) và u t ( ) 1, 0 = với à (t) =1,
0 1
u u P , , là các hàm cho trước và
( ) ( ) ( )
1
, 0, , , 0 1 . F x t f u u u u
t t t
α
α
ư
= = < < (0.13)
Bằng sự tổng quát hóa của [2], Long và Alain Phạm [6, 7], Long và
Thuyết [9], Long và Dũng [10], Long, Tâm và Trúc [11] đã xét bài toán (0.1),
(0.4) liên kết với điều kiện biên thuần nhất tại x =1 và không thuần nhất tại
x = 0 có dạng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0, 0, 0, = + ư ư
∫
t
x
u t g t H u t k t s u s ds, u t ( ) 1, 0 = (0.14) 3
Các tác giả nêu trên đã lần lượt xét nó trong [6] với à ( )t k ≡ ≡ 1, 0,
( ) 0 H s K s = , trong đó
0 K > 0; trong [6,11] với à (t) ≡1, ( ) 0 H s K s = , trong đó
0 K > 0.
Liên quan đến bài toán (0.1) – (0.6), ta xét bài toán nhiễu dưới đây theo
ba tham số bé ( )
3
1
ε λ , , K ∈{+
với
* * *
1 1
0 , ≤ ε ≤ ≤ ε λ 0 , K K≤ ≤ 0 ≤ λ (trong đó
* * *
1
ε , , K λ là các số dương cố định)
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
, , 1
0 1
0
0
( ) , , 0 1, 0 ,
0, ,
1, 1, 0,
,0 , ,0 ,
0, 0, .
tt xx t
x
K x t
t
t
u t t u Ku u F x t x t T
u t P t
P u t u t
u x u x u x u x
P t g t K u t k t s u s ds
ε λ
à ε à λ
λ
⎧
⎪
ư + = ư ư + < < < <
=
⎨ + =
⎪
= =
= + ư ư
⎩
∫
#
Ta giả sử rằng
0 1 K ≥ > 0, 0 λ là hai số thực cố định và các hàm
( ) 0 1 1
u u F g k , , , , , , à à cho trước cố định và thỏa các giả thiết nào đó sao cho với
mỗi ( )
3
1
ε λ , , K ∈{+
cho trước, bài toán (0.1 0.6 ) ư ( ) có duy nhất một nghiệm yếu
( ) u P, phụ thuộc vào ba tham số (ε
1
, , K λ )
1 1
, , , ,
,
K K
u u P P = ε λ ε
= λ
Luận văn này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán
( ) 1
Pε , , K λ
#
theo ba tham số bé (ε
1
, , , K λ ) tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa
thức theo ba biến ( ) 1
ε , , K λ
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
,
, ,
1
,
, ,
ˆ
, , ,
ˆ
,
N
N
u x t U x t K
P t P t K
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
ε λ
ε λ
+
+
+ + ≤
∈
+ + ≤
∈
≈
≈
∑
∑
¦
¦
theo nghĩa cần phải chỉ ra các hàm ( ) ( )
1 2 3 1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ
, , , ,
γ γ γ γ γ γ U x t P t N γ γ γ + + ≤
1 2 3
γ , , γ γ ∈¦+
và thiết lập các đánh giá 4
( )
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1
2 2 2
1 1 1
, , ,
*
1
2 2 2
1 2 1
, , ,
**
ˆ
,
ˆ
,
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ γ γ γ
ε λ ε λ
ε λ ε λ
+
+
+
+ + ≤ ∈
+
+ + ≤ ∈
ư ≤ + +
ư ≤ + +
∑
∑
¦
¦
N
N
N
N
N
N
u U K C K
P P K C K
theo các chuẩn
* **
i i , trong các không gian hàm thích hợp và với các tham số
( ) 1
ε , , K λ đủ bé, các hằng số
1 2
, C C N N
độc lập với các tham số ( ) 1
ε , , . K λ
Các kết quả liên quan đến bài toán xấp xỉ tiệm cận theo nhiều tham số
đã được một số tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Long, Alain Phạm, Diễm [12],
Long, Út, Trúc [13], Long, Giai [14], Long, Trường [15].
Trong luận văn này, tác giả đã mở rộng một kết quả của [12] với trường
hợp
1 K = 0 , trong đó các tác giả Long, Alain Phạm, Diễm đã xét bài toán (2.1)-
(2.6) với hàm à ≡1 và đã thu được khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán
( ) PK,λ
#
dưới đây theo hai tham số bé (K,λ )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, 1 1
0 1
0
0
, , 0 1, 0 ,
0, ,
1, 1, 1, 0,
,0 , ,0 ,
0, 0, .
λ
λ
λ
⎧
ư = ư ư + < < < <
=
⎨ + + =
⎪
= =
= + ư ư
⎩ ∫
#
tt xx t
x
K x t
t
t
u u Ku u F x t x t T
u t P t
P u t K u t u t
u x u x u x u x
P t g t K u t k t s u s ds
Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:
Phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua
các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn.
Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc
lại một số không gian hàm và một số kết quả về các phép nhúng compact giữa
các không gian hàm.
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu
toàn cục của bài toán (0.1) – (0.6). Chứng minh được dựa vào phương pháp
Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ
yếu và tính compact. 5
Chương 3, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm yếu ( ) u P, của bài toán
( ) ( ) 0.1 0.6 ư là ổn định đối với các hàm (à, , , F g k ) và các hằng số
( ) 0 1 K K, , , . λ λ
Chương 4, chúng tôi nghiên cứu sự khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
của bài toán nhiễu ( ) 1
Pε , , K λ
#
theo ba tham số bé
1
ε , , . K λ
Chương 5, chúng tôi xét một bài toán cụ thể minh họa cho phương pháp
tìm nghiệm xấp xỉ tiệm cận theo 3 tham số.
Sau cùng là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.
Nhìn chung, các kết quả trình bày trong các chương 2 – 4 là một nới rộng nhỏ
kết quả trong [12] như là một đóng góp khá khiêm tốn của tác giả.
6
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Các không gian hàm
Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu
Ω = = Ω × > ( ) 0,1 , 0, , 0, Q T T ( ) T
( ) ( ) ( )
/
, , = t
u t u t u t ( ) ( )
//
= ,
tt
u t u t ( ) = ∇ ( ),
x
u t u t u t u t
xx ( ) ( ) = Δ để lần
lượt chỉ ( ) ( ) ( )
2
2
, , , , , ,
∂ ∂
∂ ∂
u u
u x t x t x t
t t
( ) ( )
2
2
, , , .
∂ ∂
∂ ∂
u u
x t x t
x x
và bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: ( ), , ( )
m p
C L Ω Ω (Ω),
m
H
( )
,
Ω .
m p
W Có thể xem trong [3].
Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau
( ) ( ) ( )
,2 , ,
Ω = Ω = = Ω = , , .
p p m m m m p m p
L L H H W W W
Ta định nghĩa
2
L là không gian Hilbert đối với tích vô hướng
( ) ( )
1
2
0
, , = ∈ , .
∫
u v u x v x dx u v L (1.1)
Kí hiệu i để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghĩa là
2
u u = ∈ , , . u u L (1.2)
Và định nghĩa
{ }
1 2 2
: , H x = ∈ ∈ v L v L (1.3)
là không gian Hilbert đối với tích vô hướng
1
1
, , , = + ∈ , , .
x x
u v u v u v u v H (1.4)
Kí hiệu
1
H
i để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.4), nghĩa là
1 ( )
1/ 2
2 2
1
1
= = , , + ∈ .
H x
v v v v v v H (1.5)
Khi đó, ta có bổ đề sau
Bổ đề 1.1. Phép nhúng
1
H P ( )
0
C Ω là compact và
( )
0 1
1
2 .
C H
v v v H
Ω
≤ ∀ ∈ (1.6)
Chứng minh bổ đề ( ) 1.1 không khó khăn. 7
Bổ đề 1.2. Đồng nhất
2
L với ( )
/
2
L (đối ngẫu của
2
L ). Khi đó ta có
1
H P ( )
/
2 2
L L ≡ P( )
/
1
H ,
với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh rằng
2
L nhúng trong ( )
/
1
H .
Vì
1
H P
2
L , với mọi
2
w L ∈ , ánh xạ
( ) ( ) ( )
1
1
0
:
,
w
w
T H
v T v w v w x v x dx
→
= =
∫
{
U
(1.7)
là tuyến tính liên tục trên
1
H , tức là ( )
/
1
∈ . T H w
Ta xét ánh xạ
( )
( )
/
2 1
:
.
w
T L H
w T w T
→
U =
(1.8)
Khi đó, ta có
( )
/
1 1
1 2
,
, , , , .
w H H
T v w v v H w L = ∀ ∈ ∀ ∈ (1.9)
Ta sẽ chứng minh toán tử T thỏa các tính chất sau:
(i) ( )
/
2 1
T L H : → là đơn ánh,
(ii)
( )
/
1
2
,
w H
T w ≤ ∀w∈ L
(iii) ( ) { }
2 2
: T L T w L = ∈ w
là trù mật trong ( )
/
1
H .
Chứng minh (i):
Ta dễ dàng T tuyến tính.
Nếu = 0, Tw
thì
( )
/
1 1
1
,
, , 0, .
w H H
w v T v v H = = ∀ ∈
Do
1
H trù mật trong
2
L , nên ta có
2
w v v L , 0 = ∀ ∈ , .
Do đó w = 0. Vậy T là đơn ánh, nghĩa là T là một phép nhúng từ
2
L vào ( )
/
1
H .
Chứng minh (ii):
Ta có, với mọi
2
w L ∈ ,