Thạc Sĩ Phương trình Parapolic liên kết với một bai toán Cauchy cho một phương trình vi phân thường

Đề tài: Phương trình Parapolic liên kết với một bai toán Cauchy cho một phương trình vi phân thường
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS. Nguyễn Thành Long về sự
hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn Thầy TS. Trần Minh Thuyết đã có những nhận xét, chỉ bảo, và
những góp ý hết sức quan trọng trong quá trình thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn Thầy PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, cùng các Quý Thầy trong hội
đồng đã dành cho tôi thời gian, công sức để đọc và có những góp ý sâu sắc cho bản luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn TS. Lê Thị Phương Ngọc đã có những nhận xét và chỉ bảo trong quá
trình tôi thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn các Quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt
thời gian học tập tại trường.
Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp Cao học giải tích khóa 17, cũng như các anh
chị và các bạn trong nhóm xemina do các Thầy hướng dẫn tổ chức đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong
thời gian học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh An Giang, trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, Thầy
ThS. Nguyễn Đình Phùng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận
văn này.
Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi
điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này.
NGUYỄN TRẦN QUANG VINHDANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
- a.e. : hầu hết. i.e. : nghĩa là.
-   0,1 , 0,  Q T T   .
-    
0
C T C T [0, ] [0, ]  là không gian các hàm liên tục trên đoạn [0, ]. T
- D0,T  là tập hợp các hàm số khả vi vô hạn lần và có giá compact trong 0,T .
- D0,T  là không gian đối ngẫu của D0,T  hay là không gian các hàm phân bố trên 0,T .
- L  X Y;   { f X Y f :  tuyến tính, liên tục}.
- X ↪Y : phép nhúng liên tục từ không gian X vào không gian Y .
- ( ) { : | ( ) | }
p p p
L L v v x dx

        
với 1   p .
- L L v M v x M a e x      : : 
 
         .
- || ||
X
 dùng để chỉ chuẩn trên không gian X.
- || ||  chuẩn trong không gian  
2
L  .
- Hàm đặc trưng  
1 ,
0 .
A
x A
x
x A

 
 
 
neáu
neáu
- Ký hiệu u t( ), ( ) ( ) ( )
t
u t u t u t     , ( ) ( )
x
u t u t   , ( ) ( )
xx
u t u t   , lần lượt để chỉ u x t ( , ), ( , )
u
x t
t


,
( , )
u
x t
x


,
2
2
( , )
u
x t
x


. Chương 1
PHẦN TỔNG QUAN
 © 
Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình parabolic phi tuyến
     
0
( , ) , ( , ) ( , ) ,
0 1, 0 ,
t
u u
h x t u x t u f x t u k t u x d
t x x
x t T
     
   
        
   
   

(1.1)
liên kết với điều kiện biên
(0, ) (0, ) (0, ) 0,
(1, ) (1, ) (1, ) 0, 0 ,
u
t h t u t
x
u
t h t u t t T
x

 



    
 
(1.2)
và điều kiện đầu
  0
u x u x x ( ,0) , 0 1,     (1.3)
trong đó, các hàm số
0
f k h u , , , ,   và các hằng số  , được cho trước. Bài toán (1.1) – (1.3) có liên
quan đến bài toán khuếch tán trong hóa học (xem [5] - [8] và các tài liệu tham khảo trong đó) mà mấu
chốt vấn đề về mặt toán học dẫn đến bài toán sau.
Cho   0,1, ta đặt 0, , 0.  Q T T T    Tìm cặp hàm u v,  thỏa bài toán sau:
  1
0
( , ) , , 0 1, 0 ,
(0, ) (0, ) (0, ) 0, 0 ,
(1, ) (1, ) (1, ) 0, 0 ,
( ,0) ( ), 0 1,
u u
h x t u F u v x t T
t x x
u
t h t u t t T
x
u
t h t u t t T
x
u x u x x
   

        
   

   



   

    
(1.4)
  2
0
, , 0 1, 0 ,
( ,0) ( ), 0 1,
v
F u v x t T
t
v x v x x

     
 

    
(1.5)
trong đó,     0 0
h x t u x v x ( , ), ,   cho trước, các số hạng     1 2 F u v F u v , , , có dạng cụ thể
 
 
1 1 2 3 4
2 1 2 3
, ,
, ,
0, 0, 1, 2,3.
i i
F u v u v uv
F u v u v
i
   
  
 
    

   

  

(1.6) Ta xem (1.5) như là phương trình vi phân thường
3 1 2
0
, 0 1, 0 ,
( ,0) ( ), 0 1.
v
v u x t T
t
v x v x x
  

       
 

    
(1.7)
Giải phương trình này, ta được
  3 0 3 1 2     
0
( , ) exp exp ( , )
t
v x t t v x u x d       
 
     
 


       
1
3 3 0 2 3
3 0
exp exp 1 exp ( , )
t
t t v x u x d

      

 
       
  
 


         
1
3 3 0 2 3
3 0
1 exp exp exp ( , ) .
t
t t v x t u x d

      

         
  

Đặt
       
1
3 3 0
3
A x t t t v x , 1 exp exp ,

 

      
 

      3
0
, exp ( , )
t
B x t t u x d       

.
Ta viết lại   1 F u v, dưới dạng
     
   
1 1 2 3 2 4 2
1 3 2 4 3 2 4 2
F u v u A B u A B ,
A A u u B
     
       
     
     
(1.8)
1        
0
, ( , ) , ( , ) ,
t
F u v f x t x t u u k t u x d           

(1.9)
trong đó
     
1
1 3 3 3 0
3
f x t t t v x ( , ) 1 exp exp

   

 
       
   
 
 , (1.10)
       
1
2 4 3 3 0
3
x t t t v x , 1 exp exp

    

       
 , (1.11)
      3
k t t t T    exp , 0,  , (1.12)
3 2 4 2           0, 0 . (1.13)
Thay   1 F u v, vào (1.4) ta thu được bài toán (1.1) – (1.3). Bài toán (1.1) – (1.3) có nhiều ý nghĩa trong khoa học mà nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu
trong thời gian gần đây (xem thêm [5] - [10]). Trường hợp   ( , ) 1, 0, x t   bài toán (1.1) – (1.3) đã
được nghiên cứu trong [3] - [4].
Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:
Chương 1: Phần mở đầu tổng quan về bài toán (1.1) – (1.3), chỉ ra các kết quả mà các tác giả khác
đã khảo sát trước đó, đồng thời nêu tóm tắt các chương mục sẽ trình bày trong luận văn.
Chương 2: Nhắc lại một số kết quả cần thiết cho việc trình bày luận văn.
Chương 3: Khảo sát về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) với các giả
thiết
2
0
u L   ( ),
2
( ),
T
f L Q  , ( ),
T
h L Q 


1
k H T  (0, ). Trong chương này chúng tôi sử dụng các
phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và
về tính compact.
Chương 4: Với điều kiện đầu
1
0
u H   ( ), ( ),  L QT

   0   x t, 0,  
1
( ),
T
h C Q 
2
( ),
T
f L Q 
1
k H T  (0, ), luận văn chứng tỏ nghiệm thu được của bài toán (1.1) – (1.3) có tính trơn tốt hơn, cụ thể
là
      
1 2 2 1
u L T H L T H C T H 0, ; 0, ; 0, ;

   ,
2
( ).
t T
u L Q 
Chương 5: Với điều kiện đầu
2
0
u L   ( ),   0
u x   0, a.e. x , cùng với một số điều kiện khác,
tính không âm của nghiệm bài toán (1.1) – (1.3) cũng được khảo sát.
Cuối cùng là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 2
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
 © 
Trong chương này chúng tôi trình bày ngắn gọn một số không gian hàm sử dụng trong luận văn.
Một số bổ đề, định lý quan trọng sẽ được sử dụng trong các đánh giá về sau của luận văn.
2.1. Không gian Hilbert  
1
H  :
Cho   0,1 , ta định nghĩa  
2
L  là không gian Hilbert đối với tích vô hướng
     
1
2
0
      u v u x v x dx u v L , , , .

(2.1)
Ký hiệu   để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1), nghĩa là
   
1
1
2
2 2
0
u u u u x dx u L , , .
 
       
 

  (2.2)
Ta định nghĩa không gian Sobolev  
1
H  :
1 2 2
( ) { ( ) : ( )}, H u L u L       x
(2.3)
trong đó
x
u được hiểu là đạo hàm theo nghĩa phân bố.
Ta trang bị  
1
H  tích vô hướng
1
1
1
0
, , , [ ( ) ( ) ( ) ( )] , , .
H x x x x
           u v u v u v u x v x u x v x dx u v H

(2.4)
Khi đó
1 1
H H ( ) là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (2.4). Ký hiệu 1
|| ||
H
 để chỉ chuẩn
sinh bởi tích vô hướng (2.4), nghĩa là
1 1  
1
1
2
2 2 1
0
, ( ) ( ) , .
H H x
v v v v x v x dx v H
 
       
 

  (2.5)
Khi đó ta có bổ đề sau
Bổ đề 2.1.1 Phép nhúng
1
H ↪
0
C ( )  là compact và  
0 1 2 ,
C H
v v

     với mọi
1
v H  . (2.6)
Bổ đề 2.1.2 Đồng nhất không gian
2
L với  
2
L

(đối ngẫu của không gian
2
L ). Khi đó ta có
1
H ↪
2 2
L L  ( )↪
1
( ) H  ,
với các phép nhúng liên tục và trù mật.
2.2. Không gian 0, ; 
p
L T X :
Cho X là không gian Banach thực. Ký hiệu (0, ; )
p
L T X , 1 ,    p là không gian các lớp hàm tương
đương chứa hàm u T X : (0, ) sao cho
-
0
( ) ,
T
p
X
u t dt  

  nếu 1 .    p
- 0: ( ) ,    M u t M X
  a.e. t T (0, ), nếu p  .
Trên (0, ; ), 1
p
L T X p    , ta trang bị chuẩn như sau:
-
1
(0, ; )
0
p ( ) ,
T
p
p
L T X X
u u t dt
 
  
 

    nếu 1 .    p
-
(0, ; )
0
sup ( )
L T X X
t T
u ess u t 
 
    
    inf 0 : ( ) , a.e. (0, ) M u t M t T  
X  nếu p  .
Chú ý rằng nếu ( )
p
X L   thì (0, ; ) ( (0, ))
p p
L T X L T   .
Khi đó ta có các kết quả sau đây mà chứng minh có thể tìm trong Lions [11].
Bổ đề 2.2.1 Với 1   p , thì 0, ; 
p
L T X là không gian Banach.
Bổ đề 2.2.2 Gọi X  là không gian đối ngẫu của X và
1 1
1, 1 p
p p
    

. Khi đó
    0, ; 0, ;  
p p
L T X L T X
 
  là đối ngẫu của 0, ; 
p
L T X . Hơn nữa, nếu X phản xạ thì 0, ; 
p
L T X
cũng phản xạ.
Bổ đề 2.2.3      
1
L T X L T X 0, ; 0, ;
 
  . Hơn nữa các không gian  
1
L T X 0, ; , L T X 0, ; 

 không
phản xạ.2.3. Phân bố có trị vectơ:
Định nghĩa 2.3.1 Cho X là một không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D0,T 
vào X gọi là một phân bố có giá trị trong X . Tập các hàm phân bố có giá trị trong X ký hiệu là
D0, ; T X .
D D 0, ; 0, ; . T X T X   L    
Định nghĩa 2.3.2 Cho u T X  D0, ; . Ta định nghĩa đạo hàm
du
dt
theo nghĩa phân bố của u bởi công
thức
, , , 0, .  
du d
u T
dt dt

         D (2.7)
Nhận xét:
i/ Cho 0, ; 
p
v L T X  . Ta làm tương ứng nó bởi ánh xạ
: 0,   T T X v D  như sau:
     
0
, , 0, ,
T
     T v t t dt T v   

D (2.8)
thì 0, ;  T T X v  D .
ii/ Ánh xạ
v
v T  là một đơn ánh, tuyến tính từ 0, ; 
p
L T X vào D0, ; T X . Do đó ta có thể đồng
nhất T v
v  . Khi đó ta có kết quả sau mà chúng ta có thể tham khảo trong Lions [11], Chipot [9].
Mệnh đề 2.3.3 Nếu X Y, là hai không gian Banach sao cho
X ↪Y là phép nhúng liên tục,
thì
D0, ; T X ↪ D0, ; T Y ,
và 0, ; 
p
L T X ↪ 0, ; .
p
L T Y
Bổ đề 2.3.4 0, ; 
p
L T X ↪ D0, ; T X  với phép nhúng liên tục.
Bổ đề 2.3.5 Nếu 0, ; 
p
u L T X  và   0, ; ,
u p
L T X
t



1   p , thì có thể đồng nhất u với một hàm
liên tục trên [0, ] T lấy giá trị trong X .
Bổ đề 2.3.6 (Bổ đề về tính compact của Lions)
Cho ba không gian Banach X0
, X , X1
với X0↪ X ↪ X1
là các phép nhúng liên tục sao cho:
(i)
0 1 X X, là phản xạ,
(ii) Phép nhúng X0
vào X là compact.
Với 0 , 1 , 0,1        T p i
i
, ta đặt
 
0 1
0 1
(0, ) (0, ; ) : (0, ; )
p p
W T v L T X v L T X   
Khi đó không gian W T (0, ) là một không gian Banach với chuẩn
0 1
0 1
(0, )
(0, ; ) (0, ; ) W T p p
L T X L T X
      v v v    (2.9)
Hơn nữa, nếu 0 , 1 , 0, 1,        T p i
i
thì phép nhúng W T (0, ) vào
0
(0, ; )
p
L T X là compact.
2.4. Không gian  
1
H a,b;V,V'
Cho V ↪H ↪V các phép nhúng là liên tục, V trù mật trong H, a b,  . Ta đặt