Tiến Sĩ Phương trình parabolic ngược thời gian

Luận án tiến sĩ
Đề tài: Phương trình parabolic ngược thời gian

MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan 1
Mục lục 2
Một số ký hiệu dùng trong luận án 3
Mở đầu 4
Chương 1: Phiídng trình parabolic ngưdc thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian 28
1.1 Một số khái niệm và bổ (Tề C(t sỏ 29
1.2 Chính hóa phitcing trình parabolic ligifcfc tln'si gian
bằng bài toán giá trị biên không (tịa phưcing tie>ng trifling h(.1p ÍI=1 31
1.3 Chính hóa phưcing trình parabolic ngược tln'si gian
bằng bài toán giá trị biên không (tịa phưcing tie>ng trifling h(.1p a>l 41
1.4 Ví dụ số 63
1.5 Kết luận chiMng 1 68
Chương 2 phương trình parabolic ngiíỢc thời gian
với hệ số phụ thuộc thời gian 69
2.1 Các kết quả ổn (tịnh 69
2.2 Hiệu chỉnh bài toán 77
2.3 Các ví dụ 91
2.4 Kết luận chiMng 2 96
Chương 3 Các kết quả on định cho phiídng trình
truyền nhiệt ngiídc thời gian 97
ã3.1 Các kết quả bổ trt.i 98
3.2 Phưdng pháp nhuyễn và kết quả ổn (tịnh 100
3.3 S(f (tồ sai phân tiến ổn (tịnh 110
3.4 Ví dụ số 113
3.5 Kết luận chiMng 3 115
Kết luận chung và kiến nghị 119
Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 121
Tài liệu tham khảo 122
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, . Dó là những bài toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý khổng (ĩo đạc (lược trực tiếp mà ta phải xác (lịnh chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp. Trong luận án này, chung tôi (ĩề cập tdi phưtỉng trình parabolic ngược thììi gian. Đó là bài toán cho phưdng trình parabolic khi (tiều kiện ban ítầu không (tược biết mà ta phải xác định nó khi biết (ĩiều kiện cuối cùng (ító là lý do tại sao bài toán này được gọi là ngược thỉli gian).
1.2. Phư<ing trình parabolic ngưdc thíli gian thiròng xuyên xuất hiện trong lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt (ĩộ tại một thòi (ìiểm nào (ló trong quá khứ qua nhiệt (ĩộ đo đạc (tược tại thííi (tiễrn hiện tại ([31], [55], [65]), bài toán này cũng thường xuyên xuất hiện trong Địa vật lý ([65]). Trong bài toán về nước ngầm, (tể xác (tịnh việc truyền tải của chất gây ô nhiễm tại một vùng nước ngầm ngiròi ta dùng phiMng trình khuếch tán - (tối lưu (phưííng trình parabolic) ngược thcĩi gian vííi íto (tạc ỏ thfti điểm hiện tại ([15]). Phưcíng trình parabolic ngược thời gian cũng thương xuyên xuất hiện trong khoa học vật liệu ([88]), thủy động học ([15]), xử lý ảnh ([21], [59], [85]). Các bài toán này đã (tược nghiên cứu khá nhiều, tuy nhiên cũng chỉ cho một l<1p phương trình (lặc biệt; h<in thế nữa việc (tề xuất các phương phấp số hữu hiệu để giải gần (lúng các bài toán này luôn là những vấn (ĩề thfti sự.
1.3. Một cách hình thức các bài toán trên có thể mô tả như sau: giả sứ Lu(x, t) là một toán tử (có thể phi tuyến) elliptic đều. (} đây, X là biến không gian, còn t là biến thời gian. Giả sứ Qị = Ua€[0 *]^(s)? í^(s) là- các miền giới nội trong Mn, t G [0. T]. Ta xét bài toán biên sau (tây:
Ui = Lu(x. t) + F(x, t, u), (x, t) £ Qt«
wl*=0 = wo(®), x €
B)í = ơ(C-É), (€,í) € us€[oj|ỡn(s)
vdi B là toán tử điều kiện biên nào đó. Đây là Bài toán thuận thời gian. Trong thực tế, nhiều khi giá trị của u(x, t) tại thòi điểm t = 0 không (tược biết, mà ta lại biết giá trị của nó tại t = T và ta phải xác định lồi giầi của bài toán khi t £ [0,T), (tặc biệt là giá trị của u(x,t) tại t = 0, tức giá trị loan (lầu. Dây là Bài toán ngược thời gian và là chủ íĩề nghiên cứu của luận án này.
1.4. Các bài toán ngược kế trên thitòng đặt không chính theo nghĩa Hadamard ([65], [97]). Một bài toán (ĨƯỢc gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba (ĩiều kiện a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một tôpô nào (tó) theo dữ kiện của bài toán. Nếu như ít nhất một trong ba (tiều kiện này không thỏa mãn, thì ta nói rằng Bài toán ãặt không chỉnh. Hadamard cho rằng các bài toán đặt khổng chỉnh không có ý nghĩa vật lý. Tuy nhiên, như (tã nói ồ trên, nhiều bài toán thực tiễn của khoa học và công nghệ ítã dẫn (ìến các bài toán đặt khổng chỉnh. Chính vì những lý do này mà từ (ĩầu thập niên 50 của thế kỷ tntrfc, nhiều công trình nghiên cứu (tã (tề cập tdi bài toán (ĩặt khổng chỉnh. Các nhà toán học A. N. Tikhonov, M. M. Lavrent’ev, F. John, c. Pucci, V. K. Ivanov là những ngiròi đi tiên phong trong lĩnh vực này. Kế từ năm 1963, sau khi Tikhonov ([97]) đưa ra phương pháp chỉnh hóa các bài toán đặt không chính nối tiếng của ông, bài toán đặt không chỉnh và bài toán ngược <tã trồ thành một ngành riêng của vật lý toán và khoa học tính toán. PhifcJng trình parabolic ngược thời gian vừa (ĨƯỢc kổ trên khổng nằm ngoài trào lưu này.
Wỉi các lý do nêu trên, chủng tôi chọn íĩề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Phương trình parabolic ngược thời gian".
2. Mục đích nghiên cứu
2.1. Một trong nhftng vấn <tề C(l bản khi nghiên cứu các bài toán đặt. không chỉnh là việc tìm các đánh giá ổn (tịnh. Các đánh giá này cho ta biết bài toán "xấu" đến mức nào, (tể từ đó có thể đưa ra các phư<fng pháp số hữu hiệu. Ngoài ra, các (tánh giá ổn (lịnh cùng rất quan trọng trong việc chứng minh sự hội tụ và các (lánh giá sai số của cốc phiíiíng pháp chỉnh khi giải bài toán dặt không chỉnh. Cho đến nay. các (tánh giá oil (tịnh cho phiMng trình parabolic ngược thi'si gian nhận (lìíitc chủ yếu cho phương trình tuyến tính v»1i hệ số không phụ thuộc tin'll gian và điều kiện biên thuần nhất ([8]). Các đánh giíí thưíìng chỉ nhận (ti(i)c cho chuẩn Lo, rất ít kết quả nhận (lưi.lc cho các chuẩn khác. Một trong nhiìng mục (lích của luận án là tìm các (lánh giá ổn (tịnh c-ho phiMng trình parabolic ngiù.lc thíỉi gian vdi hệ số không phụ thuộc thíìi gian trong chuẩn Lp(p > 1) và cho phưring trình parabolic ngiíỢe thííi gian víii hệ số biến thiên theo thìli gian trong chuẩn Lo.
2.2. Mục (lích thứ hai của luận án là chính hóa phưdng trình parabolic ngiíi.íc thòi gian bằng bài toán giá trị biên không (lịa phưting. De xấp xí một cách ổn (tịnh nghiệm của bài toán (lặt không chính, ta phăi dùng các phương pháp chính hóa. Các thuật toán chỉnh Tikhonov, lặp, hoặc phiMng pháp bài toán liên hi.tp ([18], [31], [41], [55], [72], [73]), . (tã tỏ ra khá hữu hiệu cho phiftfug trình truyền nhiệt ngiti.tc thìli gian. Tuy nhiên, các phưdng pháp này còn ít ctượe áp dụng cho phitdng trình parabolic- ngược tlu'fi gian tổng quát. Trong luận án này chúng tôi phát triển luận văn c-ao học của mình ([1], [2]) về việc sử dụng phưrtng pháp chỉnh hóa bằng bài toán biên không (tịa phưcing cho phiMng trình parabolic. Y trifling chỉnh hóa phưdng trình parabolic ngược thíìi gian bằng bài toán biên không địa phưíing cho phương trình parabolic (tifi.tc Vabishchevich ([101]) (tề xuất vào năm 1981. sau đó vào năm 1985 Showalter ([91]) cũng (lưa ra phương pháp tưrtng tự: Clark và Oppenheimer ([23]) its có một số cải tiến c-ho phương pháp này vào năm 1994. Trong luận văn cao học của mình, tác giả đã đưa ra một số đánh giá tốt híln cho phưitng pháp của các tác giả kể trên ([10], [23]) và chứng minh rằng phưriug pháp trên thực sự là một phiMng pháp hiệu chỉnh. Mục đích tiếp theo là mil rộng phưitng pháp cho các phưdng trình phức tạp h(fn, (tặc biệt là phưdng trình parabolic ngưi.te thòi gian v<ìi hệ số phụ thuộc thììi gian.
2.3. Mục (tích thứ ba của luận án là nghiên cứu về si) đồ sai phân tiến ổn (tịnh cho phitilng trình parabolic ngưt.ie thỉni gian. Trong các bài báo ([29], [30], [37]). dựa trên phiMng pháp làm trrtn của mình, Dinh Nho Hào itã (lề xuất ra các S(! (tồ sai phân tiến on itịnh (trong chuẩn Lp) cho một số bài toán (lặt không chính. Ap dụng phitdng pháp này cho phương trình parabolic ngiíí.lc thrti gian là một itiều khả thi và thú vị. Tính toán trên máy tính dựa theo S<1 itồ sai phân tiến rất có hiệu quả, nên việc nghiên cứu chúng cho các bài toán đặt không chỉnh là cần thiết.
3. Đối tượng nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu về các đánh giá ổn (lịnh và chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thỉìi gian.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên crìu phưeing trình parabolic ngiti.lc th<ìi gian với hệ số không phụ thuộc thìti gian và cả hệ số phụ thuộc thỉli gian. Luận án nghiên cứu plnírtng trình parabolic ngiti.fe thiM gian trong không gian Hilbert (Lọ) và trong không gian Banach (Lp, p > 1).
5. Phưdng pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phìCtìng pháp lồi logarithm, phưríng pháp bài toán giá trị biên không địa phương và phương pháp làm nhuyễn do Dinh Nho Hào (Tề xitiíng.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Y nghĩa khoa học: Làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về phương trình parabolic ngược thỉìi gian.
Ý nghĩa thực tiễn: ứng dụng vào các bài toán truyền nhiệt, (lồng hóa số liệu, xử lý ảnh, .
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1. Bài toán đặt không chỉnh. Dể tiện lợi cho các tháo luận về sau. trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm về đánh giá ổn định và chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh (xem [3]).
Gia sử ta cần giải phiídng trình
Au = /
Viìi A là toán tứ (tuyến tính hoặc phi tuyến) từ khổng gian hàm X vào không gian hàm Y nào (ĩó, còn / là dữ kiện (tã cho thuộc không gian Y. Khi bài toán (ĩặt khổng chỉnh, thì không phải v<ìi dữ kiện / nào bài toán cũng có nghiệm và till rông là khi nghiệm của bài toán tồn tại (theo một nghĩa nào <ĩó), thì 1<N1Ì giải này không phụ thuộc liên tục (theo một metric nào (tó) vào dữ kiện /. Do tính không ổn định này của bài toán nên việc giải số nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số ltìn bất kỳ trong lồi giải. Mục đích của lý thuyết bài toán (ĩặt không chỉnh là đưa ra các phương pháp số hữu hiệu (tể giải các bài toán này một cách ổn (tịnh. Dể (tạt được- mục (tích (tó tntííc hết phải nghiên cứu về tính on định có điều kiện của bài toán, nghĩa là chỉ ra một l<íp M nào (tó của không gian X (tể l<'ii giải của bài toán thuộc lổp này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán.
Các (tánh giá này không chí nói lên tính chất (tịnh tính của bài toán mà còn giúp ta trong việc phát triển các phư<Jng pháp số (tể giải bài toán và đánh giá sai số của phư<Jng pháp. Dể (tdn giản, ta giả thiết rằng X và Y là các không gian (tịnh chuấn vổi chuẩn tương rtng là II ■ IIX và II ■ II ỵ. Gia sứ rằng, nếu ta chọn íĩược một tập h(.1p M và biết được nếu u G M thì nó sẽ phụ thuộc liên tục vào /, nghĩa là. tồn tại một hàm V một biến thực, liên tục. vổi u;(0) = 0, sao cho
IMLY < ^(ll/llr)-
Dánh giá này (tược gọi là đánh giá ấn định ([14]) và trong tnrông ỈK.ip này, bài toán được gọi là ắn định có điều kiện hay ắn định theo nghĩa
Tikhonov ([55]) (Tikhonov là ngiròi (ĩằu tiên (tưa ra nhận xét này vào năm 1943 ([9G])). Tập M thương là những tập mà <ì (tó li'ii giải của bài toán C'ó ý nghĩa vật lý, chẳng hạn như (tó là tập mà i'i (tó 1<N1Ì giải bị chặn (nhiệt <tộ hoặc vận tốc của một quá trình vật lý thì gidi nội, .), hoặc (ĩó là một tập lồi, tập các hàm không âm, tập các hàm íì(Jn (liệu, . Nếu Cd(t.) = ctữ với a > 0 nào đój thì ta có đánh giá án định kiểu Holder và ta có một "bài toán tốt". Nếu u là một hàm dạng logarithm thì ta có đánh giá on định kiểu logarithm - đây là "bài toán xấu". Còn nếu ta không có một đánh giá nào về tốc độ tiến tới 0 của u?(t) khi t —► 0 thì ta có một "bài toán rất
Ắ II
xâu .
Giá sử V(ìi toán tử A và các khổng gian định chuẩn (X. II ■ llx) và (y*ll ‘ IIV') vừa (tề cập (ì trên, bài toán giải phưíing trình Au = / là một bài toán (ĩặt không chĩnh. Ngoài ra, giả sử rằng, Vi'ù vế phai chính xác /, tồn tại một nghiệm duy nhất: nghĩa là tồn tại duy nhất ũ sao cho Aũ = /. Trên thực tế / khổng (tược biết, mà ta chỉ biết phần tử fs và số dư<ỉng ổ sao cho II fs~ f\\ỵ ^ ỗ. Yêu cầu (ĩặt ra là xây dựng nghiệm xấp xi của phưitng trình phần tử us sao cho us —> ũ khi s —» 0. Vì bài toán đặt không chỉnh, chúng ta không thể sử dụng toán tử ngifi.fc A~\ nghĩa là, không thể chọn us = A~lfs. B('ỉi vì toán tứ ngifi.fc này có thể không xác (tịnh tại fs và cũng có thế không liên tục trên Y. Do <tó muốn xây dựng nghiệm xấp xỉ UỊ, ta cần đề xuất các phiMng pháp chỉnh hóa. Sau (ĩây, chúng tôi nhắc lại khái niệm chính hóa bài toán íìặt khổng chỉnh (xem [27], [41], [65]).
Toán tử R(f, a), phụ thuộc tham số a, bị chặn với mỗi a > 0. tác động từ Y vào X íìược gọi là chỉnh hóa cho phưdng trình Au = / (íĩối Vl'ii phần tử /), nếu các (tiều kiện sau (ĩây thỏa mãn
1) lon tại hai số diMng ổ] và «1 sao cho toán tử R(f.a) xác định v<ìi mọi a £ (0, Q'i) và v<íi mọi / G Y: II/ — Ĩ\\Y ^ ổ. ổ € (0. ổi);
2) Toil tại một sự phụ thuộc a = sao cho với mọi E > 0, tồn
tại ổ(e) < Sị thỏa mãn: với mọi / E Yj II/ — f\\y ^ ổ kéo theo bất đắng
TAI LIẸU THAM KHAO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Drtc- (2006), vè một lâp phương trình parabolic ngược thời gian, Luận văn thạc sĩ Toán học, Dại học Vinh. Nghệ An.
[2] Nguyễn Văn Đức (2006) , "Về một phitdng pháp chỉnh cho phương trình parabolic ngưực thỉìi gian", Tạp chí Khoa học Dại học Vinh, 35(2A). tr. 49-54.
[3] Phạm Minh Hiền (2007), Bài toán Cauchy cho một số ph-ìtớng trình elliptic cấp hai. Luận án tiến sĩ Toíín học, Viện Toán học . Hà Nội
Tiếng nưóc ngoài
[4] Abđulkerimov L Sh. (1977), "Regularization of an ill-posed Cauc-hy problem for evolution equations in a Banach space". Azer- baidzan. Gos. Univ. Ucen. Zap., no. 1, Fiz. i Mat., pp.32 36. MR0492G45. (Russian)
[5] Agmon S. and Nirenberg L. (19C3). "Properties of solutions of ordi-nary differential equations in Banach spaces", Comm. Pure Appl. Math., 16, pp. 121 239.
[6] Agmon s. (1966), Ưnicité et convexité dans les problèmes dif¬ferentials, Les presses de r universitc de Montreal, 152pp.
[7] Agmon s. and Nirenberg L. (1967), "Lower bounds and uniqueness theorems for solutions of differential equations in a Hilbert space", Comm. Pure Appl. Math 20, pp.207 229.
[8] Alifanov o. M. (1994), Inverse Heat Transfer Problems. Springer.
[9] Arnes K- A. and Stranghan B. (1997). Non-standard and Improp¬erly Posed Problems. Mathematics in Science and Engineering, Vol 194. Academic- Press.
[10] Ames K. A Clark G. w Epperson J. F , and Oppenhcimer s. F. (1998). "A comparison of regularizations for an ill-posed problem", Math. Comput., 224. pp. 1451 1471.
[11] Ames K. A. and Hughes R. J. (2005), "Structural stability for ill- posed problems in Banach spaces". Semigroup Forum, 70, pp.127 145.
[12] Ảng I) D. (1985), "Stabilized approximate solutions of the inverse time problem for a parabolic evolution equation", J. Math. Anal. Appl., Vol. 111. No. 1. pp.148 155.
[13] Barenblatt G. I. , Bertsch M. Passo R. D and Ughi M. (1993), "A degenerate pseudoparabolic regularization of a nonlinear forward- backward heat equation arising in the theory of heat and mass exchange in stably stratified turbulent shear flow", SIAM J. Math. Anal., 24, pp.1414 1439.
[14] Baumeister J. (1987). stable Solution of Inverse Problems, Friedr. Vieweg Si Solin. Braunschweig.
[15] Bear J. (1972). Dynamics of Fluids in Porous Media. Elsevier. New York.
[16] Boussetila N. and Rebbani F. (2006),"Optimal regularization method for ill-posed Cauchy problems," Electron. J. Differential Equations. 147. pp.l 15.
[17] Buzbee B L. and Carasso A. (1973). "On the mimberical computa¬tion of parabolic problems for preceding times". Math. Comput.,
27. No. 122. pp. 237-266.
[18] Cannon J. R. (1984). "The One-Dimensional Heat Equatii>11. Read¬ing"; M.A: Addison- Wesley.
[19] Carasso A. s. (1976), "Error bounds in the final value problem for the heat equation", SIAM J. Math. Anal Vol. 7. No. 2. pp. 195-199.
[20] Carasso A. s. (1977). "Computing small solutions of Burgers'equa¬tion backwards in time". J. Math. Anal. Appl., 59. pp. 169-209.
[21] Carasso A. s. (1997), "Error bounds in nonsmooth image deblur- ring". SIAM J. Math, Anal,. 28. pp. 656-668.
[22] Carasso A. s. (1999). "Logarithmic convexity and the "slow evo¬lution" constraint in ill-posed initial value problems", SIAM J. Math. Anal., 30. No 3, pp. 479-496.
[23] Clark G. w. and Oppenheimer s. F. (1994), "Quasireversiblity methods for non-well-posed problems' . Electron. J. Differential Equations, 8. pp.l 9.
[24] Cohen p. J. and Lees M. (19G1), "Asymptotic decay of solutions of differential inequalities", Pacific Math. J., 11. pp.1235 1249.
[25] Crooke p. s. and Payne L. E. (1984), "Continuous dependence on geometry for the backward heat equation", Math. Meth. in the Appl. Sci., 6, pp. 433-448
[26] Denche s. M. and Bessila K. (2005). "A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems", J. Math. Anal. Appl., 301, pp.419 426.
[27] Denisov A. M. (1999). Elements of the Theory of Inverse Prob¬lems. Inverse and Ill-Posed Problems Series, Walter De Gruyter.
[28] Dinh Nho Hào (1990), "Notes on the Benjamin-Bona-Mahony Equation", Appl. Anal . 35, pp.221 246.
[29] Dinh Nho Hào (1994), "A mollification method for ill-posed prob-lems", Numer. Math., 68. pp.4G9 506.
[30] Dinh Nho Hào (1996), "A mollification method for a noncharacter¬istic Cauchy problem for a parabolic equation", J. Math. Anal. Appi. 199, pp.873 909.
[31] Dinh Nho Hào (1998), Methods for Inverse Heat Conduction Problems, Peter Lang, New York.
[32] Dinh Nho Hào, Nguyen Van Due and Sahli H. (2008), "A non-local boundary value problem method for parabolic equations backward in time", J. Math. Anal. Appl., No. 345, pp. 805 815.
[33] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Due (2009), "Stability results for the heat equation backward in time", J. Math. Anal. Appl., No. 353. pp. 627-641.
[34] Dinh Nho Htio, Nguyen Van Due and Lesnic D. (2009), "A non¬local boundary value problem method for the Cauchy problem for elliptic equations", Inverse Problems, 25. 055002, 27pp.
[35] Dinh Nho Hào, Nguyen Van Due and Lesnic D . (2010), "Regu-larization of parabolic equations backward in time by a non-local boundary value problem method", IMA J. Appl. Math., No. 75, pp 291-315.
[3G] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Due (2011), "Stability results for backward parabolic equations with time dependent coefficients", Inverse Problems. Vol. 27, No. 2, 025003, 20 pp