Thạc Sĩ Phương trình hàm trên tập số nguyên

Líi nói ¦u
Phưìng trình hàm nói chung và phưìng trình hàm trên tªp sè
nguyên a sè là nhúng d¤ng toán khó và thưíng g°p trong các · thi
chån håc sinh giäi quèc gia và Olympic quèc t¸.
Lý thuy¸t v· phưìng trình hàm nói chung và phưìng trình hàm
trên tªp sè nguyên nói riêng thưíng s³ ưñc · cªp sâu hìn trong mët
sè giáo trình cì b£n cõa bªc ¤i håc ho°c sau ¤i håc. èi vîi chưìng
trình toán phê thông nói chung và h» chuyên toán nói riêng, các tài
li»u v· v§n · này còn r§t hi¸m hoi, °c bi»t là vi»c h» thèng mët sè
d¤ng cì b£n cùng vîi phưìng pháp gi£i chúng.
Phưìng trình hàm trên tªp sè thüc ã ưñc mët sè tài li»u · cªp,
ch¯ng h¤n [2]. Các bài toán gi£i phưìng trình hàm trên tªp sè nguyên
xu§t hi»n r£i rác trong mët sè tài li»u chuyên ·, nhưng vi»c phân lo¤i
chúng º · xu§t nhúng phưìng pháp gi£i phù hñp thì v¨n còn khá ít.
Mët v§n · khác bi»t cì b£n giúa phưìng trình hàm trên tªp sè
nguyên vîi phưìng trình hàm trên tªp sè thüc là, mët sè công cö sû
döng ưñc trên tªp sè thüc như vi»c sû döng ¤o hàm, sû döng tính
ch§t hàm liên töc . không thº sû döng ưñc trên tªp sè nguyên. Do
ó, ph£i có mët líi gi£i khác, vîi mët phưìng pháp khác °c trưng
hìn º gi£i lîp phưìng trình này. º có ưñc phưìng pháp gi£i ó,
vi»c phân lo¤i và h» thèng các d¤ng như phưìng trình hàm này là mët
vi»c làm c¦n thi¸t. ó cung là möc ích cõa · tài này. Và do ó, nëi
dung cõa luªn van là có ý nghia khoa håc và mang tính thüc ti¹n èi
vîi toán håc phê thông h» chuyên toán.
Vîi möc ích ó, luªn van gçm nhúng nëi dung sau ây:
Chưìng 1. Áp döng mët sè nguyên lý và tính ch§t °c trưng cõa
tªp sè nguyên º gi£i phưìng trình hàm.
5
Chưìng này trình bày vi»c sû döng nguyên lý quy n¤p, nguyên lý s­p
thù tü ôi khi là mët công cö r§t tèt º gi£i quy¸t mët sè bài toán
khó liên quan ¸n vi»c tìm phưìng trình hàm trên tªp sè nguyên. Bên
c¤nh ó, èi vîi mët sè bài toán gi£i phưìng trình hàm trên tªp sè
nguyên, ta d¹ dàng nhªn ra quy luªt n¸u chuyºn bài toán theo mët
h» ¸m cì sè khác.
Chưìng 2. Áp döng mët sè tính ch§t cõa dãy sè và hàm sè º gi£i
phưìng trình hàm.
Chưìng này trình bày vi»c sû döng mët sè tính ch§t cõa dãy sè như
tính ch§t sè h¤ng têng quát cõa dãy sè, tính ch§t cõa dãy sè [n];
mët sè tính ch§t cõa hàm sè như tính ìn i»u cõa hàm sè, tính ch§t
cõa ánh x¤; hay tính ch§t sè håc liên quan ¸n hàm sè ôi khi nó là
công cö r§t hi»u qu£ º gi£i bài toán v· phưìng trình hàm trên tªp
sè nguyên.
Chưìng 3. Áp döng lý thuy¸t phưìng trình sai phân º gi£i phưìng
trình hàm.
Chưìng này trình bày mët sè bài toán v· mët sè phép chuyên êi cõa
dãy sè như dãy sè chuyºn êi các phép tính sè håc, dãy sè chuyºn êi
các ¤i lưñng trung bình. °c bi»t là qua mët sè bài toán minh håa v·
gi£i bài toán phưìng trình hàm dưîi góc ë cõa nhúng phưìng trình
sai phân c§p cao mà líi gi£i cõa chúng là không d¹ dàng.
Trong méi phưìng pháp áp döng cõa méi chưìng, Luªn van trình
bày mët sè bài toán minh håa cì b£n, kèm theo ó là phưìng pháp gi£i
°c trưng èi vîi các d¤ng toán này. Cuèi méi ph¦n cõa méi chưìng,
Luªn van cung · xu§t mët sè bài tªp tü gi£i.
Luªn van ưñc hoàn thành dưîi sü hưîng d¨n khoa håc cõa TS.
Trành ào Chi¸n. Tác gi£ xin bày tä lòng bi¸t ìn chân thành và sâu
s­c v· sü hưîng d¨n nhi»t tình, nghiêm kh­c và nhúng líi ëng viên
cõa Th¦y trong suèt quá trình håc tªp và thüc hi»n Luªn van. Tác gi£
xin chân thành c£m ìn quý th¦y cô trong Ban giám hi»u, Phòng ào
t¤o sau ¤i håc, Khoa Toán, Trung tâm thông tin - Tư li»u trưíng
¤i håc Quy Nhìn, cùng quý Th¦y Cô tham gia gi£ng d¤y khóa håc
ã t¤o i·u ki»n giúp ï cho tác gi£ trong thíi gian håc tªp và nghiên
cùu.
6
Nhân ây tác gi£ cung xin c£m ìn sð Giáo döc và ào t¤o Gia Lai,
trưíng THPT Nguy¹n Du-Huy»n Krôngpa và các b¤n çng nghi»p;
các anh chà em håc viên cao håc Khóa XI; gia ình và nhúng ngưíi
thân ã giúp ï, ëng viên và t¤o i·u ki»n thuªn lñi trong thíi gian
håc tªp và nghiên cùu º tác gi£ có thº hoàn thành khóa håc và Luªn
van.
Luªn van có thº ưñc dùng như mët tài li»u tham kh£o có h» thèng
v· mët sè phưìng pháp gi£i phưìng trình hàm trên tªp sè nguyên.
M°c dù tác gi£ ã cè g­ng r§t nhi·u nhưng k¸t qu£ ¤t ưñc trong
Luªn van v¨n còn khiêm tèn và khó tránh khäi nhúng khi¸m khuy¸t.
Tác gi£ mong nhªn ưñc sü óng góp quý báu cõa quý Th¦y Cô và
các ëc gi£ º Luªn van hoàn thi»n hìn.

Möc löc
Mð ¦u 4
1 Áp döng mët sè nguyên lý và tính ch§t °c trưng cõa
tªp sè nguyên º gi£i phưìng trình hàm. 7
1.1 Nguyên lý quy n¤p toán håc 7
1.1.1 Lý thuy¸t 7
1.1.2 Mët sè bài toán minh håa . 7
1.1.3 Bài tªp 17
1.2 Nguyên lý s­p thù tü tèt . 18
1.2.1 Lý thuy¸t 18
1.2.2 Mët sè bài toán minh håa . 18
1.2.3 Bài tªp . 21
1.3 H» ¸mcì sè 22
1.3.1 Lý thuy¸t 22
1.3.2 Mët sè bài toán minh håa . 22
1.3.3 Bài tªp 34
2 Áp döng mët sè tính ch§t cõa dãy sè và hàm sè º gi£i
phưìng trình hàm. 36
2.1 Áp döng mët sè tính ch§t cõa dãy sè . 36
2.1.1 Sè h¤ng têng quát cõa dãy sè . 36
2.1.2 Bài tªp . 39
2.1.3 Tính ch§t cõa dãy sè [n] . 39
2.2 Áp döng mët sè tính ch§t cõa hàm sè 42
2.2.1 Tính ìn i»u cõa hàm sè . 42
2.2.2 Tính ch§t cõa ánh x¤ . 45
2.2.3 Tính ch§t sè håc liên quan ¸n hàm sè 48
3 Áp döng lý thuy¸t phưìng trình sai phân º gi£i phưìng
trình hàm. 61
3.1 Mët sè phép chuyºn êi dãy sè 61
3.1.1 Dãy sè chuyºn êi các phép tính sè håc . 61
3.1.2 Dãy sè chuyºn êi các ¤i lưñng trung bình 64
3.1.3 Bài tªp 68
3.2 Áp döng phưìng trình sai phân bªc cao . 69
3.2.1 Bài tªp 71
K¸t luªn 73
Tài li»u tham kh£o 74