Thạc Sĩ Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập

Luận văn thạc sĩ năm 2012
Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HAI BIẾN ĐỘC LẬP

Mục lục
Mở đầu 2
1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1. Lớp hàm Holder 4
1.1.1 Liên tục Holder . 4
1.1.2 Không gian
 
, k
C


. 5
1.2. Đánh giá đối với ánh xạ á bảo giác 6
1.2.1 Đánh giá đối với tích phân Dirichlet đối với ánh xạ á
bảo giác . 8
1.2.2 Đánh giá chuẩn Holder đối với ánh xạ á bảo giác . 12
2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai
với hai biến độc lập 16
2.1 Đánh giá địa phương đối với chuẩn Holder cho đạo hàm cấp
một của nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai 16
2.2 Đánh giá toàn cục đối với chuẩn Holder cho đạo hàm cấp một
của nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai . 20
2.3 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình
elliptic đều á tuyến tính cấp hai 22
2.4 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình
elliptic không đều á tuyến tính cấp hai 28
2.5 Sự tương đương của độ nghiêng bị chặn và điều kiện ba điểm 35
Kết luận 38
Tài liệu tham khảo 39

Mở đầu
1. Lý do chọn Luận văn
Phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic có một quá trình phát
triển lâu dài. Trường hợp phương trình với hai biến độc lập có một mối liên
quan chặt chẽ với lý thuyết hàm chỉnh hình và ánh xạ bảo giác trên mặt phẳng
phức.
Mục tiêu của Luận văn là trình bày lý thuyết phương trình elliptic á
tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập. Khác với trường hợp khi số biến lớn
hơn hoặc bằng ba, trong trường hợp hai biến, người ta không đòi hỏi các hệ số
của phương trình là các hàm trơn, mà chỉ cần là các hàm liên tục.
2. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kết quả và phương pháp của lý thuyết ánh xạ á bảo giác và
của lý thuyết phương trình elliptic cấp hai tuyến tính cùng với phương pháp
lặp.
3. Mục đích của Luận văn
Trình bày các tính chất định tính về độ trơn của nghiệm phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập.
4. Nội dụng của luận văn
Nội dung chủ yếu của Luận văn được dựa vào một chương của tài liệu
[1]. Trong chương 1 Luận văn đã trình bày khái niệm ánh xạ á bảo giác cùng
với các đánh giá tiên nghiệm trong lớp Holder của chúng.
Các kết quả trong chương 1 đã được áp dụng trong chương 2 vào các
đánh giá tiên nghiệm và tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương
trình á tuyến tính elliptic đều và không đều. Đối với trường hợp elliptic không
đều, bài toán Dirichlet chỉ được xét trong các miền lồi với dữ kiện biên thoả
mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn. Luận văn cũng đã chỉ ra rằng điều kiện độ
nghiêng bị chặn là tương đương với điều kiện ba điểm.

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Lớp hàm Holder
1.1.1. Liên tục Holder