Tiến Sĩ Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NĂM 2014
MỤC LỤC
Lời cảm ơn ii
Một số ký hiệu 2
MỞ ĐẦU 3
1 Kiến thức chuẩn bị 11
1.1 Đa tạp đại số 11
1.2 Cấu xạ giữa các đa tạp 13
1.3 Đường cong phẳng . 15
1.4 Không gian Hyperbolic 18
2 Các nhân tử bất khả quy có giống thấp của đường cong trên trường số phức 20
2.1 Phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian 20
2.2 Một số bổ đề 22
2.3 Một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của đường cong P(x) = Q(y) có giống lớn hơn 1 28
2.3.1 Các đa thức thoả mãn Giả thiết I . 28
2.3.2 Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I . 33
2.4 Điều kiện cần và đủ để đường cong P(x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 34
2.4.1 Bội giao . 34
2.4.2 Phép biến đổi toàn phương . 37
2.4.3 Điều kiện cần và đủ để đường cong P(x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 39
2.5 Một số ứng dụng và ví dụ 49
3 Độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách 56
3.1 Một số kết quả bổ trợ . 57
3.2 Chặn trên của các độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách 62
3.3 Phương trình biến tách P(x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả thiết I 66
3.4 Điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng 70
Kết luận và kiến nghị 78

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số được nhiều nhà toán học đặc biệt quan tâm là bài toán giải phương trình Diophant. Ban đầu người ta nghiên cứu nghiệm nguyên của những phương trình
Diophant với các hệ số là những số nguyên. Sau đó, việc xem xét nghiệm của các phương trình Diophant được mở rộng trên tập các số hữu tỷ và trên trường các hàm như hàm phân hình phức, hàm phân hình không Acsimet, hàm hữu tỷ.
Cho P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k. Bài toán tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình P(f) = Q(g) từ lâu đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Bên cạnh đó, bài toán về sự phân tích đa thức P(x)ưQ(y) thành các nhân tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là một trường số cũng được nhiều nhà toán học nghiên cứu. Theo Định lý Faltings và Định lý Picard, hai bài toán này liên quan chặt chẽ với nhau. Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX, một số kết quả của các bài toán này đã được đưa ra bởi các công trình của J. F. Ritt [36], sau đó là A. Ehrenfeucht [19], H. Davenport, D. J. Lewis và A. Schinzel [16], M. Fried [22], . Khi Q = cP, C. C. Yang và P. Li trong [44] đã giới thiệu khái niệm đa thức duy nhất mạnh. Cụ thể, đa thức P(x) trên trường đóng đại số k được gọi là đa thức duy nhất mạnh đối với họ các hàm F nếu với mọi4 hàm f, g ∈ F và hằng số c khác không nào đó mà P(f) = cP(g) thì c = 1 và f = g. Cho đến nay bài toán tìm điều kiện để một đa thức là đa thức duy nhất mạnh đối với một họ hàm đã được giải quyết trọn vẹn trong trường hợp phức cũng như trong trường hợp p-adic cho họ các hàm phân hình, hàm nguyên hay hàm hữu tỷ ([2], [3], [4], [5], [8], [24], [30], [43]). Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu một mở rộng tự nhiên của vấn đề đa thức duy nhất mạnh, đó là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình P(x) = Q(y). Theo Định lý Picard, phương trình P(f) = Q(g) không có nghiệm hàm phân hình (f, g) khác hằng nếu và chỉ nếu đường cong P(x) ư Q(y) = 0 không chứa bất kỳ thành phần nào
có giống 0 hoặc 1. Một số điều kiện cần để đường cong P(x) ư Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 0 đã được đưa ra bởi J. F. Ritt ([36]) và U. M. Zannier ([46]). R. M. Avanzi và U. M. Zannier ([11]) đã đưa ra một điều kiện cần để đường cong P(x) ư Q(y) = 0 không có nhân tử có giống
1. Trong trường số phức, một số điều kiện đối với các bậc của P và Q để phương trình P(x) = Q(y) không có nghiệm hàm phân hình khác hằng cũng được xem xét bởi các tác giả H. H. Khoái và C. C. Yang trong [31], C. C. Yang và P. Li trong [45]. Gần đây, trong [7], T. T. H. An và A. Escassut đã xem xét vấn đề này trong trường không Acsimet. Họ đã đưa ra điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, giả thiết được giới thiệu lần đầu tiên bởi Fujimoto trong [24], và điều kiện cần và đủ khi degP = degQ.
Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong không có nhân tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở. Đồng thời, vấn đề xem xét phương trình P(x) = Q(y) trên trường các hàm hữu tỷ là đề tài thời sự đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm.
Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số, đồng thời xem xét các điều kiện để đa thức hai biến có các nhân tử có giống thấp.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng những phương pháp của giải tích phức và hình học đại số, lý thuyết số trong quá trình thực hiện đề tài luận án, đặc biệt là lý thuyết độ cao, lý thuyết kỳ dị, phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian trên một đường cong đại số.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
6.1. Ý nghĩa khoa học
Luận án góp phần làm sáng tỏ vấn đề khi nào phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số có nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình khác hằng