Thạc Sĩ Phương trình Borel đối với đa thức trên trường đóng lại đại số, đặc số không

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Qua đây Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của
khoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu
và Viện Toán học đã trang bị kiến thức cơ bản, tạo điều kiện tốt nhất cho tác
giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Vũ Hoài
An, người đã giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu,
tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn
khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong đóng góp của các nhà toán
học và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn.ii
Mục lục
Lời cảm ơn i
Mục lục . ii
Bảng ký hiệu iv
Mở đầu 1
1 Vấn đề nhận giá trị của đường cong hữu tỷ trên trường đóng
đại số, đặc số không. 3
1.1 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng, đặc số
không . 3
1.2 Hai Định lý nhận giá trị của đường cong hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc số không 6
Kết luận . 12
2 Phương trình Borel đối với đa thức trên trường đóng đại số,
đặc số không. 13
2.1 Phương trình Borel đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc
số không . 14
2.2 Sự tương tự giữa Phương trình Diophantine trên tập hợp số
nguyên với Phương trình Borel đối với đa thức trên trường đóng
đại số, đặc số không . 25
2.2.1 Phương trình Diophantine ax + by = c 26
2.2.2 Phương trình bậc nhất nhiều ẩn 28
2.2.3 Phương trình Diophantine bậc cao 39
Kết luận . 46
Kết luận . 47iii
Tài liệu tham khảo . 48iv
Bảng ký hiệu
f Hàm hữu tỷ
n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a
T(f) Hàm độ cao của f
K Trường đóng đại số, đặc số không
R Trường số thực1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình Diophantine là vấn đề kinh điển và rất khó của số học, là chuyên
đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học cơ sở và trung học phổ thông. Phương
trình Diophantine xuất hiện trong Báo toán học và Tuổi trẻ, trong các kỳ thi
học sinh giỏi và các tài liệu toán nâng cao. Trong lý thuyết phân bố giá trị
p-adic, phương trình Borel - Một tương tự của Phương trình Diophantine trong
Số học, là vấn đề nghiên cứu quan trọng (xem [4]). Nội dung nghiên cứu của
phương trình Borel là: xét sự tồn tại nghiệm, giải phương trình. Công cụ chủ
yếu sử dụng ở đó là hai Định lý chính của lý thuyết phân bố giá trị p-adic.
Mặt khác, phương trình Borel p-adic sẽ có ứng dụng trong toán học phổ thông.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét Vấn đề
Phương trình Borel đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số
không.
2. Mục tiêu nghiên cứu
ã Tổng hợp, trình bày lại các bài giảng về Phương trình Borel đối với đa
thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng. Các kết quả của
công việc này có tựa đề là Phương trình Borel đối với đa thức trên trường
đóng đại số, đặc số không và ứng dụng
ã Đưa ra các ví dụ trong toán học phổ thông thể hiện ứng dụng của Phương
trình Borel đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không.
3. Nội dung nghiên cứu
- Trình bày lại Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trương đóng đại số,
đặc số không (xem [1],[2]).
- Trình bày lại Vấn đề nhận giá trị của đường cong hữu tỷ trên trường đóng
đại số, đặc số không [1].
- Trình bày lại phương trình Borel đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc2
sô không trong [1].
4. Kết quả nghiên cứu
- Định lý 1.2.6 và 1.2.7. Đây là kết quả của Vấn đề nhận giá trị của đường cong
hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không đã được đề cập trong [1].
- Định lý 2.1.4, Định lý 2.1.7. Hai định lý này cho ta cách giải hai kiểu phương
trình Borel đối với đa thức đã được đề cập trong [1].
- Tổng hợp và trình bầy 22 ví dụ thể hiện sự tương tự của Phương trình Borel
đối với đa thức và Phương trình nghiệm nguyên.
5. Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 2 chương:
Chương 1.Vấn đề nhận giá trị của đường cong hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc số không và ứng dụng.
Trong Chương 1 chúng tôi trình bày:
- Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không.
- Hai Định lý 1.2.6 và 1.2.7.Các Định lý này là kết quả đối với vấn đề nhận giá
trị đường cong hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không.
Chương 2. Phương trình Borel đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số
không.
Trong Chương 2 chúng tôi trình bày:
- Định lý 2.1.4, Định lý 2.1.7. Hai Định lý này cho ta cách giải hai kiểu Phương
trình Borel đối với đa thức.
- 22 ví dụ thể hiện sự tương tự của phương trình Borel đối với đa thức và
Phương trình nghiệm nguyên.3
Chương 1
Vấn đề nhận giá trị của đường cong
hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc
số không.
Chúng tôi muốn xem xét Phương trình với ẩn là đa thức với hệ số thuộc K ,
K là trường đóng đại số, đặc số không, dưới góc độ của lý thuyết phân bố giá
trị p-adic. Vì vậy chúng tôi cần tìm hiểu vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỉ
trên K . Vấn đề này được đề cập trong [1] và được trình bày lại ở đây. Ngoài ra
chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các khái niệm đã biết.
1.1 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường
đóng, đặc số không.
Trước tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệm sau.
Cho K là một trường đóng, K được gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức
một ẩn có bậc khác không, với hệ số K , đều có nghiệm trong K .
Trường số phức C là trường đóng đại số.
Định nghĩa 1.1.1.
Số 0 được gọi là đặc số của trường K nếu ∀n ∈ N ∗: n1 6= 0, ký hiệu: Char( K )
= 0. Số tự nhiên n nhỏ nhất khác không thỏa mãn n1 6= 0 thì số n được gọi là
đặc số của trường K , ký hiệu: Char( K ) = n. Các ví dụ sau đây minh họa cho
khái niệm trên.4
Trường số thực R có đặc số không . Thật vậy, ta có n1 = 1 + 1 + . + 1 6= 0
(tổng được lấy với n số đều bằng 1).
Trường số Z
7 có đặc số 7. Thật vậy, Ta có 7¯1 = 0 và k¯1 = k 6= 0 với mọi
k = 1, ., 6. Do đó Z
7 là trường có đặc số 7.
Từ đây trở đi ta luôn ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc số không. Giả
sử f là đa thức khác hằng số có bậc n trên K và a là không điểm của f. Khi
đó viết
f = (z ư a) m
p(z)
với p(a) 6= 0 ta có m là bội của điểm a của f. Ký hiệu µ0
f
(a) = m giả sử d ∈
K và l là số nguyên dương. Ta kí hiệu:
n(f) là số các điểm của f tính cả bội;
n(f, d) = n(f ư d);
n l (f) =
q P i=1
min{m i , l} ở đó f = (z ư a1 ) m 1 .(z ư a q ) mq ,
n l (f, d) = n l (f ư d), n0 (f) = q,
Ta nêu ra một số ví dụ cho minh họa cho khái niệm không điểm, số không
điểm, không điểm không tính bội, không điểm tính với bội bị chặn đối với đa
thức.
Ví dụ 1.1.2.
Cho f(x) = x2 + 2x. Tính n(f), n1 (f), n0 (f), n3 (f).
Giải
Xét phương trình x2 + 2x = 0 ta có các nghiệm là x = 0, x = ư2 và f(x) =
x(x + 2.) Từ đây suy ra n(f) = 2, n1 (f) = 2 = n0 (f) = n3 (f).
Ví dụ 1.1.3.
Cho f(x) = x3 + 3x2 + 3x = ư1.
Tính n(f, ư1), n0 (f, ư1), n1 (f, ư1), n2 (f, ư1), n5 (f, ư1).
Giải
Xét phương trình f(x) = x3 + 3x2 + 3x = ư1, hay (x ư 1) 3 = 0. Từ đây ta có
n(f, ư1) = 3, n0 (f, ư1) = 1 = n1 (f, ư1), n2 (f, ư1) = 2; n5 (f, ư1) = 3.5
Tiếp theo ta cần đưa ra các khái niệm tương tự cho hàm hữu tỷ.
Giả sử f =
f1
f2
là hàm hữu tỷ trên K , ở đó f1, f2 ∈ K[x] và không có điểm
chung, d ∈ K , ta ký hiệu:
n(f) = n(f1 ), n(f, d) = n(f1 ư df2 ),
n l (f) = n l (f1 ), n l (f, d) = n l (f1 ư df2 ),
n0 (f, d) = n0 (f1 ư df2 ), n(f, ∞) = n(f2 ),
n l (f, ∞) = n l (f2 ), n0 (f, ∞) = n0 (f2 ),
degf = degf1 ư degf2 , T(f) = max {degf1, degf2 }.
Ta xét các ví dụ sau minh họa cho các khái niệm vừa nêu trên.
Ví dụ 1.1.4.
Cho f(x) =
2x
x2 + 1
.
Tính n1 (f), n0 (f, ∞), degf, T(f), n(f), n(f, ∞).
Giải
Ta có degf = 1 ư 2 = ư1; T(f) = max{deg2x, degx2 + 1} = 2; n(f) =
1, n(f, ∞) = 2, n1 (f) = 1, n(f, ∞) = 2.
Ví dụ 1.1.5.
Cho f(x) =
x2
x4 ư 3x2 + 1
.
Tính degf, T(f) = n(f, 1), n(f, ∞); n2 (f, 1), n1 (f, 1), n1 (f, ∞).
Giải
Xét phương trình
x2
x4 ư 3x2 + 1
= 1, hay x4 ư 4x + 1 = 0, (x ư 1) 2 (x + 1) 2 = 0.
Từ đây suy ra
degf = 2 ư 4 = ư2, T(f) = max{degx
2
, degx
4
ư 3x
2
+ 1}= 4
n2 (f, 1) = 4, n1 (f, ∞) = 4, n1 (f, 1) = 2,
n2 (f, 1) = 4, n1 (f, ∞) = 4.
Các ví dụ sau đây nói rằng giả thiết tính đóng đại số và đặc số không của
trường K là cần thiết.
Ví dụ 1.1.6.
Cho f(x) = x2 ư 1, g(x) = x4 + 1, h(x) = (x ư 1)(x2 + 1) là ba đa thức với hệ6
số thực.
Tính T(f), T(g), T(h), n(f), n(g), n(h) theo định nghĩa trên và đưa ra nhận xét
Giải
Ta có T(f) = 2, n(f) = 2; T(g) = 4, n(g) = 0, T(h) = 3, n(h) = 1. Từ đây ta
rút ra T(f) = n(f), T(g) > n(g), T(h) > n(h).
Mối liên hệ giữa hàm độ cao T(f) của các đa thức f và số không điểm f rất
khó xác định hoặc tầm thường.
Ví dụ 1.1.7.
Cho f(x) = x7 + 1 là đa thức thuộc Z
7 [x]. Tính f′(x) và đưa ra nhận xét.
Giải
Ta có f′ = 7x là đa thức đồng nhất không trên Z
7 . Hơn nữa f(x) là đa thức
không đồng nhất không trên Z
7 . Khi đó không xét được ảnh hưởng của đạo
hàm đến không điểm của đa thức.
Định lý 1.1.8.
(Định lý chính thứ hai đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số
không)
Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K , a1, ., a q ∈ K ∪{∞}. Khi đó
(q ư 2)T(f) ≤
q X i=1
n1 (f, a i ) ư 1.
1.2 Hai Định lý nhận giá trị của đường cong hữu
tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không.
Trong Mục 1.2, chúng tôi trình bày lại Hai định lý nhận giá trị của đường
cong hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không. đã đề cập trong [1]. Đây là
công cụ để xét các phương trình với ẩn là đa thức.
Định nghĩa 1.2.1.
Đường cong hữu tỷ f: K → Pn ( K ) là một lớp tương đương của các bộ (n + 1)
đa thức (f1, ., f n+1 ) sao cho f1, ., f n+1 không có điểm chung trên K . Hai bộ