Tiến Sĩ Phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbe

LUẬN ÁN TIẾN SĨ
NĂM 2015
Mở đầuLý thuyết điểm bất động trong các không gian mêtric đã thực sự lôi cuốn sựquan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước trong hàngchục năm qua. Điều đó không chỉ vì lý thuyết điểm bất động đóng vai trò quantrọng trong toán học mà còn vì những ứng dụng của nó trong lý thuyết bấtđẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, các mô hình toán họcvà lý thuyết kinh tế. Nhiều nhà toán học tên tuổi như Brower E., Banach S.,Bauschke H. H., Moudafi A., Xu H. K., Schauder J., Browder F. E., Ky FanK., Kirk W. A., Nguyễn Bường, Phạm Kỳ Anh, Lê Dũng Mưu, v.v . đã mởrộng các kết quả về bài toán điểm bất động của ánh xạ co trong không gianhữu hạn chiều cho bài toán điểm bất động của ánh xạ liên tục Lipschitz, ánhxạ giả co, ánh xạ không giãn, v.v . trong không gian Hilbert, không gianBanach. Những kết quả mở rộng này không chỉ đề cập đến sự tồn tại điểmbất động mà còn đề cập đến vấn đề xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ.Gần đây những nghiên cứu về bài toán tìm điểm bất động của lớp các ánh xạkhông giãn đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu hết sức sôi độngcủa giải tích phi tuyến. Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động kinh điểnphải kể đến là phương pháp lặp Krasnosel’skii (1955), phương pháp lặp Mann(1953), phương pháp lặp Halpern (1967), phương pháp lặp Ishikawa (1974),v.v Một số nhà nghiên cứu trong nước cũng có những công trình thú vịvề tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn trongkhông gian Hilbert và không gian Banach như (Pham Ky Anh, Cao Van Chung(2014) "Parallel Hybrid Methods for a Finite Family of Relatively NonexpansiveMappings", Numerical Functional Analysis and Optimization., 35, pp.649-664; P.N. Anh (2012) "Strong convergence theorems for nonexpansive mappingsand Ky Fan inequalities", J. Optim. Theory Appl., 154, pp. 303-320; P.N.Anh, L.D. Muu (2014) "A hybrid subgradient algorithm for nonexpansive mappingsand equilibrium problems", Optim. Lett., 8, pp. 727-738; Nguyen Thi ThuThuy: (2013) "A new hybrid method for variational inequality and fixed pointproblems", Vietnam. J. Math., 41, pp. 353-366, (2014) "Hybrid Mann-Halperniteration methods for finding fixed points involving asymptotically nonexpansivemappings and semigroups", Vietnam. J. Math., Volume 42, Issue 2, pp.219-232, "An iterative method for equilibrium, variational inequality, and fixedpoint problems for a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces", Bull. Malays.Math. Sci. Soc.,Volume 38, Issue 1, pp. 113-130, (2015) "A strongly stronglyconvergent shrinking descent-like Halpern’s method for monotone variationalinequaliy and fixed point problems", Acta. Math. Vietnam., Volume 39, Issue23, pp. 379-391; Nguyen Thị Thu Thuy, Pham Thanh Hieu (2013) "Implicit IterationMethods for Variational Inequalities in Banach Spaces", Bull. Malays.Math. Sci. Soc., (2) 36(4), pp. 917-926; Duong Viet Thong: (2011), "An implicititeration process for nonexpansive semigroups", Nonlinear Anal., 74, pp.6116-6120, (2012) "The comparison of the convergence speed between picard,Mann, Ishikawa and two-step iterations in Banach spaces", Acta. Math. Vietnam.,Volume 37, Number 2, pp. 243-249, "Viscosity approximation methodfor Lipschitzian pseudocontraction semigroups in Banach spaces", Vietnam. J.Math., 40:4, pp. 515-525, v.v .).


NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN 1. Trong luận án chúng tôi cải tiến phương pháp của Moudafi, nhằm thu được sự hội tụ mạnh của các phương pháp lặp ẩn và lặp hiện với các điều kiện "nhẹ hơn" đặt lên các tham số. Nghiên cứu sự kết hợp giữa phương pháp lặp của Mann - Halpern và phương pháp lai ghép trong qui hoạch toán học để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trên tập lồi, đóng C hay điểm bất động chung của hai ánh xạ không giãn trên hai tập lồi, đóng, có giao khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp dạng đường dốc lai ghép thu hẹp về điểm bất động của ánh xạ không giãn.2. Nghiên cứu sự kết hợp giữa phương pháp lặp của Mann - Halpern và phương pháp lai ghép trong qui hoạch toán học để tìm điểm bất động của nửa nhóm không giãn trên tập lồi, đóng C hay điểm bất động chung của hai nửa nhóm không giãn trên hai tập lồi, đóng, có giao khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Nghiên cứu sự hội tụ mạnh của phương pháp dạng đường dốc lai ghép cho bài toán tìm điểm bất động của nửa nhóm không giãn.
¡nh x¤ khæng gi¢n 10
1.2. Nûa nhâm khæng gi¢n v mët sè phưìng ph¡p t¼m iºm
b§t ëng chung cõa nûa nhâm khæng gi¢n .14
1.3. Mët sè bê · bê trđ .18
Chưìng 2 Phưìng ph¡p x§p x¿ t¼m iºm b§t ëng cõa


Mục lục
Trang bìa phụ i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục iv
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt vi
Mở đầu 1
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 7
1.1. Một số khái niệm, phương pháp cơ bản tìm điểm bất động
của ánh xạ không giãn 7
1.1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian
Hilbert 7
1.1.2. Một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động của
ánh xạ không giãn 10
1.2. Nửa nhóm không giãn và một số phương pháp tìm điểm
bất động chung của nửa nhóm không giãn . 14
1.3. Một số bổ đề bổ trợ . 18
Chương 2 Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động củav
ánh xạ không giãn 20
2.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cải biên 21
2.2. Phương pháp lặp Mann - Halpern cải biên . 29
2.3. Phương pháp dạng đường dốc lai ghép thu hẹp cho ánh xạ
không giãn 35
2.4. Điểm bất động chung cho hai ánh xạ không giãn trên hai tập 37
2.5. Ví dụ tính toán minh họa 43
Chương 3 Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động của
nửa nhóm không giãn 54
3.1. Điểm bất động của một nửa nhóm không giãn . 54
3.2. Điểm bất động của hai nửa nhóm không giãn 63
3.3. Ví dụ tính toán minh họa 69
Kết luận chung và đề xuất 74
Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận
án 75
Tài liệu tham khảo 76