Thạc Sĩ Phương pháp tối ưu hóa giải bài toán cân bằng thông qua bất đẳng thức biến phân

PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG THÔNG QUA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Mục lục

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Bảng kí hiệu v

Mở đầu 1

Chương 1 Các mô hình cân bằng 4

1.1. Mô hình cân bằng tuyến tính 4

1.1.1. Mô hình cân bằng tuyến tính 4

1.1.2. Mô hình cân bằng tuyến tính động 12

1.2. Mô hình cân bằng phi tuyến 14

1.2.1. Mô hình cân bằng kinh tế Cassel - Wald 14

1.2.2. Mô hình thị trường cạnh tranh không hoàn hảo 15

1.2.3. Mô hình cân bằng mạng 20

1.2.4. Mô hình cân bằng di trú 25

Chương 2 Bất đẳng thức biến phân và một số bài toán áp dụng 28

2.1. Lý thuyết cơ sở 28

2.1.1. Bất đẳng thức biến phân 28

2.1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 32

2.2. Chuyển các mô hình cân bằng sang dạng bất đẳng thức

biến phân 38

2.2.1. Mô hình cân bằng Cassel - Wald 38

2.2.2. Mô hình thị trường cạnh tranh không hoàn hảo 39

2.2.3. Mô hình cân bằng mạng 40

2.2.4. Mô hình cân bằng di trú 42

Chương 3 Các phương pháp tối ưu hóa tìm điểm cân bằng 44

3.1. Phương pháp chiếu 44

3.2. Phương pháp chuẩn hóa 54

3.3. Phương pháp lạp trực tiếp 56

Kết luận 61

Tài liệu tham khảo 62

Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ khoa học 63

Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài

Bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức biến phân nói riêng có vai trò quan trọng trong toán học, đạc biệt là trong toán tối ưu. Những nghiên cứu đầu tiên về bất đẳng thức biến phân đều liên quan tới việc giải các bài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng.

Năm 1979 Michael J. Smith đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông và năm 1980 Defermos chỉ ra rằng: Điểm cân bằng của bài toán này là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Từ đó bài toán bất đẳng thức biến phân được phát triển và trở thành công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều bài toán khác.

Gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân, sự tồn tại và duy nhất nghiệm và ứng dụng của bất đẳng thức biến phân giải các bài toán cân bằng, cũng là một đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu vì vai trò của nó trong lý thuyết toán học và trong các ứng dụng thực tế.

Bởi những lý do trên mà tôi chọn đề tài: Phương pháp tối ưu hóa giải bài toán cân bằng thông qua bất đẳng thức biến phân.

2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu, nghiên cứu một số mô hình cân bằng, bất đẳng thức biến phân, sự tồn tại và duy nhất nghiệm, phương pháp giải cơ bản và ứng dụng của bất đẳng thức biến phân trong giải bài toán cân bằng.

3. Đối tương và phạm vi nghiên cứu

Chúng ta xem xét một số lý thuyết về Bất đẳng thức biến phân, và một số bài toán tiêu biểu áp dụng bất đẳng thức biến phân như mô hình cân bằng kinh tế Cassel - Wald, mô hình thị trường cạnh tranh không hoàn hảo, mô hình cân bằng mạng và cân bằng di trú.

4. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu từ giáo viên hướng dẫn. Tìm tòi, thu thập tài liệu, sách từ thư viện, Internet . từ đó khảo cứu, sắp xếp hình thành nội dung đề tài.

5. Ý nghĩa khoa học

Đề tài sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai muốn tìm hiểu về các dạng mô hình cân bằng tuyến tính và phi tuyến, bất đẳng thức biến phân và một số phương pháp tìm điểm cân bằng.

6. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chương Chương 1: Các mô hình cân bằng.

Trình bày sơ lược về các mô hình cân bằng như: mô hình cân bằng tuyến tính, mô hình cân bằng tuyến tính động, mô hình cân bằng kinh tế Cassel - Wald, mô hình thị trường cạnh tranh không hoàn hảo, mô hình cân bằng mạng và cân bằng di trú. Ngoài ra để làm cơ sở cho các chương sau, các định lý, bổ đề thường dùng cũng được giới thiệu trong chương này.

Chương 2: Bất đẳng thức biến phân và một số bài toán ứng dụng.

Trình bày các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức biến phân, một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân và cách chuyển các mô hình cân bằng ở chương 1 sang dạng bất đẳng thức biến phân.

Chương 3: Các phương pháp tối ưu hóa tìm điểm cân bằng.

Trình bày phương pháp chiếu tìm điểm cân bằng cho một số bài toán bất đẳng thức biến phân ở chương 2, phương pháp chuẩn hóa và phương pháp lạp trực tiếp cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu.