Thạc Sĩ Phương pháp toán tử cho nguyên tử hydro trong từ trường đều với cường độ bất kỳ

MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu bài toán nguyên tử, phân tử chuyển động trong từ trường từ lâu đã được quan tâm vì tầm quan trọng của nó trong nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau. Đặc biệt, với sự tiến bộ nhanh chóng của khoa học kỹ thuật hiện nay, nhiều hiện tượng vật lý mới đã được tìm thấy. Chẳng hạn trong vật lý vũ trụ, các quan
sát sao nơtrôn và sao lùn trắng cho thấy sự tồn tại của những hệ nguyên tử, phân tử và ion trong từ trường mạnh với cường độ trải rộng từ 102T 109T [19], [25]. Để có thể giải thích các phổ bức xạ quan sát được, cần thiết phải tính toán các thông số vật lý như phổ năng lượng, các chuyển pha lượng tử, .Cũng nhờ đó mà chúng ta có thêm hiểu biết về các vấn đề của cơ học lượng tử trong những điều kiện tới hạn, tạo tiền đề cho các ứng dụng trong vật lý vũ trụ. Trong vật lý chất rắn, các bài toán về hệ nhiều hạt, trạng thái exciton, ion trong giếng thế điện từ cũng được nghiên cứu cả trên lý thuyết và thực nghiệm; nhiều hiệu ứng lượng tử đã được quan sát và được ứng dụng để chế tạo các thiết bị điện tử bán dẫn . Chính vì thế, bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Một mặt là vì tính phổ biến của nó đối với các hệ vật lý trong tự nhiên; mặt khác, việc khảo sát nguyên tử hydro đơn giản là cách để có thể kiểm chứng các tính toán lý thuyết về quang phổ nguyên tử trong trường ngoài một cách dễ dàng và chính xác nhất. Các tính toán lý thuyết về phổ năng lượng của nguyên tử hydro trong từ trường đã được đăng bởi rất nhiều tác giả: Canuto V., Kelly D. C. (1972) [6]; Rau. A. R. P., Spruch L. (1976) [24]; Rösner W., Wunner G., (1984) [25]; Delande D., Gay J. C. (1986) [7]. Về sau, các công trình về đề tài này vẫn xuất hiện đều đặn hàng năm: Kravchenko Y. P., Liberman M. A. (1996) [14]; Main J., Wunner G. (1996) [20]; Bachmann M., Kleinert H., Pelster A. (2000) [5]. Gần đây nhất là các công trình của López-Vieyra J. C., Pilón H. O. (2008) [19]; Thirumalai A., Heyl J. S. (2009) [26].
Bài toán nguyên tử hydro trong từ trường là bài toán kinh điển và có thể giải bằng nhiều phương pháp gần đúng khác nhau như phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [21], phương pháp biến phân [5], [19], [23], phương pháp Hartree-Fock [12], [26], lý thuyết nhóm [7], . Nhằm tối ưu các kết quả, một số tác giả xét thêm các hiệu ứng tương đối tính [5], [11], [26]. Tuy nhiên, việc tìm được phổ năng lượng có độ chính xác cao cho các trạng thái cơ bản và kích thích của nguyên tử hydro trong từ trường vẫn gặp nhiều khó khăn, chủ yếu là do mối tương quan giữa
trường Coulomb và trường từ. Như đã biết, với bài toán nguyên tử đơn giản không có mặt trường ngoài thì hệ vật lý là thuần Coulomb và bài toán có đối xứng cầu. Khi đó có thể xây dựng hàm riêng của toán tử Hamilton trong tọa độ
cầu và tìm được trị riêng chính xác [2]. Tương tự, nếu chỉ xét mô hình hạt tích điện chuyển động trong từ trường thì bài toán có đối xứng trụ và cũng dễ dàng thu được kết quả chính xác. Trong trường hợp đang xét, vì sự có mặt đồng thời của tương tác Coulomb và tương tác từ nên không thể thực hiện việc tách biến độc lập phương trình Schrödinger trong bất cứ hệ tọa độ nào và vì thế việc giải bài toán gặp nhiều khó khăn khi yêu cầu phải tìm được nghiệm chính xác. Trong các công trình đã nêu, hầu hết các kết quả chỉ thu được nghiệm gần đúng; việc giải bài toán thường được phân tích và xét riêng trong từng miền từ trường có cường độ khác nhau: yếu, trung bình và mạnh.
Các số liệu bằng số tương đối hoàn chỉnh và được xem là chính xác nhất cho đến nay được đăng trong các công trình [14] và [25]. Trong công trình [25], tác giả khai triển hàm sóng của nguyên tử hydro trong từ trường yếu và trung bình theo các hàm cầu, và theo các trạng thái Landau có đối xứng trụ trong từ trường mạnh; sử dụng giả thiết gần đúng đoạn nhiệt và đưa bài toán về việc giải hệ phương trình dạng Hartree-Fock cho bài toán một hạt chuyển động trong trường thế hiệu dụng. Kết quả thu được bằng số hội tụ với độ chính xác từ 6-7 con số sau dấu phẩy cho trạng thái cơ bản và một vài trạng thái kích thích ban đầu. Tuy nhiên tốc độ hội tụ giảm dần khi cường độ từ trường gia tăng đồng thời kết quả thu được cho các trạng thái kích thích không đạt được độ chính xác cao trong miền từ trường mạnh.
Trong công trình [14], Kravchenko và các cộng sự tìm được nghiệm chính xác cho bài toán bằng cách khai triển hàm sóng tổng quát dưới dạng chuỗi lũy thừa theo biến xuyên tâm r với các hệ số tương ứng là các đa thức chứa biến là giá trị lượng giác sin của góc cực  . Kết quả bằng số thu được từ việc giải vòng lặp các phương trình dạng chuỗi với độ chính xác bất kỳ tùy thuộc vào số hạng tử được lấy từ chuỗi. Các số liệu được trình bày chính xác đến 12 con số sau dấu phẩy trong toàn miền biến thiên của từ trường cho trạng thái cơ bản cũng như các trạng
thái kích thích.
Điểm khó khăn chung thường gặp của các phương pháp tính đã từng sử dụng đó là phải vận dụng các tính toán phức tạp và nhìn chung đều phải xây dựng được các hàm sóng phù hợp cho từng vùng từ trường có cường độ khác nhau. Luận văn của chúng tôi trình bày phương pháp toán tử để giải phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ. Phương pháp toán tử [9] đã được xây dựng bởi nhóm các tác giả Komorov L. I., Feranchuk I. D. ở khoa vật lý lý thuyết thuộc đại học tổng hợp Belarus từ năm 1982 và áp dụng hiệu quả trong
nhiều bài toán của vật lý chất rắn, lý thuyết trường, và vật lý nguyên tử [8], [16], [18]. Điểm mạnh của phương pháp toán tử là: các tính toán được thực hiện đơn giản với đại số của các toán tử và các yếu tố ma trận xây dựng từ các hàm sóng có dạng đại số tương ứng; tính tổng quát: có thể giải được kết quả với độ chính xác cao và không phụ thuộc vào độ lớn của cường độ trường ngoài, miễn là xây dựng được toán tử Hamilton cho hệ vật lý đang xét.
Một số công trình cũng đã dùng phương pháp toán tử để khảo sát bài toán nguyên tử hydro trong từ trường [1], [4], [10] và đã thu được một số kết quả đáng chú ý. Trong [10], tác giả tìm được các hệ thức liên hệ để biểu diễn trực tiếp toán tử Hamilton từ không gian tọa độ Descartes ba chiều về dạng các toán tử sinh, hủy và sử dụng sơ đồ nhiễu loạn thu được nghiệm gần đúng tính đến bổ chính bậc hai. Tuy nhiên, nghiệm này chỉ có độ chính xác cao đối với miền từ trường yếu. Điều này đã được cải thiện trong công trình [4], khi tác giả xét đến biểu hiện tiệm cận cho bài toán nguyên tử hydro hai chiều trong miền từ trường mạnh và thu được nghiệm giải tích ở gần đúng bậc zero có độ chính xác đều đặn trong toàn miền biến thiên của từ trường. Khi giải bài toán bằng phương pháp toán tử, việc đưa phương trình Schrödinger về biểu diễn toán tử gặp phải khó khăn đó là sự xuất hiện của biến số nằm dưới mẫu trong số hạng tương tác Coulomb. Trong luận văn [4], nhóm thực hiện đã sử dụng phép biến đổi Laplace để giải quyết khó khăn này. Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tổng quát, khi kết hợp với phương pháp toán tử hứa hẹn sẽ giải được một loạt các phương trình có chứa biến ở mẫu số. Tuy nhiên, với phép biến đổi Laplace, hàm sóng ở gần đúng bậc zero thu được khi xây dựng hệ hàm cơ sở trong biểu diễn toán tử không mô tả được
đầy đủ các tính chất của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường. Mục tiêu của luận văn là sử dụng phương pháp toán tử để tìm phổ năng lượng cho trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ. Các kết quả bằng số được tính toán chi tiết với độ chính xác cao đều đặn trong toàn miền biến thiên của từ trường. Từ đó, chỉ ra rằng phương pháp toán tử là một phương pháp phi nhiễu loạn có thể áp dụng hiệu quả cho bài toán nguyên tử, phân tử chuyển động trong từ trường.
Các nội dung nghiên cứu cụ thể của luận văn như sau:
- Xây dựng toán tử Hamilton cho bài toán nguyên tử hydro chuyển động trong từ trường. Tìm cách biểu diễn toán tử Hamilton qua các toán tử sinh, hủy nhờ phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel.
- Dựa vào các đối xứng của bài toán nguyên tử hydro, chúng tôi xây dựng bộ hàm sóng cơ sở và giải phương trình Schrödinger dưới dạng các toán tử sinh, hủy.
- Để tìm nghiệm chính xác bằng số, chúng tôi sử dụng sơ đồ vòng lặp. Kết quả cho thấy sơ đồ vòng lặp cho kết quả hội tụ có độ chính xác cao cho phổ năng lượng của trạng thái cơ bản.
- Trong bài toán, chúng tôi sử dụng hai tham số: một dùng để xét biểu hiện tiệm cận của hàm sóng trong miền từ trường mạnh nhằm thu được kết quả với độ chính xác cao trong toàn miền biến thiên của từ trường ngoài; tham số còn lại được dùng để điều khiển tốc độ hội tụ của sơ đồ vòng lặp. Hai tham số này ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả nên sẽ được khảo sát cụ thể. Ngoài ra, các tham số được xác định theo nghĩa biến phân nên về mặt phương pháp, chúng tôi sẽ so sánh với các công trình [19], [23] để chỉ ra các ưu điểm của phương pháp toán tử so với phương pháp biến phân.
- Kết quả bằng số được dùng để so sánh với lời giải chính xác bằng phương pháp số [14], [25] và lời giải bằng phương pháp biến phân [19], [23]. Từ đó chỉ ra rằng, phương pháp toán tử có thể áp dụng cho các bài toán nguyên tử trong trường ngoài với hiệu quả như mong đợi.
- Trong luận văn có sử dụng phần mềm MAPLE cho các kết quả dưới dạng các biểu thức giải tích. Sơ đồ vòng lặp để thu được nghiệm chính xác bằng số được lập trình bằng ngôn ngữ FORTRAN.
Nội dung luận văn được trình bày trong ba chương, kết luận và danh sách tài liệu tham khảo như sau:
Chương I: Biểu diễn đại số của phương tình Schrödinger
Thiết lập biểu thức của toán tử Hamilton dạng không thứ nguyên trong hệ tọa độ Descartes. Sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel để đưa toán tử Hamilton dạng không thứ nguyên về không gian phức hai chiều nhằm khử biến tọa độ nằm dưới mẫu trong số hạng mô tả tương tác Coulomb, thuận tiện cho việc biểu diễn toán tử Hamilton dưới dạng các toán tử sinh, hủy. Ta cũng sẽ thấy rằng, trong không gian này, bài toán đang xét tương đương với bài toán dao động tử phi điều hòa. Định nghĩa các toán tử sinh, hủy và viết lại toán tử Hamilton dưới dạng các toán tử sinh, hủy. Xây dựng hệ hàm cơ sở và tính các yếu tố ma trận.
Chương II: Áp dụng phương pháp toán tử tìm nghiệm gần đúng dạng giải tích Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày ý tưởng của phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường và áp dụng để tìm nghiệm gần đúng bậc zero cho năng lượng của trạng thái cơ bản trong toàn miền biến thiên của tham số từ trường. Về nguyên tắc, nghiệm gần đúng bậc zero có thể được sử dụng để tham chiếu kết quả với sai số chấp nhận được. Tuy nhiên, tính toán cụ thể cho thấy, khi từ trường càng lớn thì sai số càng lớn. Trong trường hợp này, chúng tôi đưa thêm vào bài toán thừa số tiệm cận- là nghiệm riêng của toán tử Hamilton trong trường hợp từ trường mạnh để thu được kết quả gần đúng bậc zero tốt hơn. Các bổ chính bậc hai theo sơ đồ nhiễu loạn cũng sẽ được trình bày để so sánh với các kết quả chính xác.
Chương III: Lời giải chính xác bằng số bằng phương pháp toán tử Đầu chương, chúng tôi trình bày tóm tắt các sơ đồ tính toán để tìm nghiệm của bài toán. Sơ đồ vòng lặp sẽ được lựa chọn vì khả năng hội tụ cao. Với sơ đồ vòng lặp, ở bước xác định của vòng lặp, kết quả cho thấy sự hội tụ của nghiệm về một giá trị không đổi và giá trị này sẽ được chọn làm nghiệm chính xác của phương pháp toán tử. Chúng tôi lập bảng để so sánh kết quả thu được với các số liệu trong các công trình [14], [19], [22], [25]. Tốc độ hội tụ của sơ đồ vòng lặp phụ thuộc vào một tham số tùy ý như đã đề cập ở phần trước. Vì vậy, cũng trong chương này, chúng tôi sẽ khảo sát cụ thể sự phụ thuộc này để chỉ ra cách lựa chọn tham số hội tụ một cách hiệu quả nhất. Cuối chương sẽ là các nhận xét, đánh giá. Phần kết luận sẽ trình bày các kết quả đạt được từ việc áp dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường và hướng phát triển tiếp theo của đề tài.
Phần phụ lục là các tính toán chi tiết cho các công thức có trong nội dung luận văn.
Phần tài liệu tham khảo gồm 26 công trình khoa học và sách liên quan.
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .1
Chương I: BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER 7
I.1. Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro trong từ trường .7
I.2. Phương trình trong không gian phức hai chiều 8
I.3. Biểu diễn toán tử Hamilton dưới dạng đại số 10
I.4. Xây dựng hệ cơ sở đối xứng trụ, tính các yếu tố ma trận .12
Chương II: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ TÌM NGHIỆM GẦN
ĐÚNG DẠNG GIẢI TÍCH .17
II.1. Ý tưởng của phương pháp toán tử 17
II.2. Nghiệm gần đúng bậc zero của phương pháp toán tử .18
Chương III: LỜI GIẢI CHÍNH XÁC BẰNG SỐ CHO NGUYÊN TỬ HYDRO
TRONG TỪ TRƯỜNG 30
III.1. Các sơ đồ có thể áp dụng để tìm nghiệm chính xác 30
III.2. Sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm chính xác .34
III.3. Khảo sát sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử vào tham
số tự do  37
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 42
PHỤ LỤC 43
PHỤ LỤC 1: Biểu diễn toán tử Hamilton mô tả nguyên tử hydro trong từ trường
dưới dạng không thứ nguyên .43
PHỤ LỤC 2: Jacobian của phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel .43
PHỤ LỤC 3: Chuyển toán tử Hamilton dạng không thứ nguyên qua không gian phức
hai chiều .44
PHỤ LỤC 4: Biểu diễn toán tử của các biểu thức tọa độ phức 47
PHỤ LỤC 5: Xây dựng hệ hàm sóng cơ sở cho bài toán .48
PHỤ LỤC 6: Dạng không thứ nguyên của toán tử Hamilton khi xét đến biểu hiện
tiệm cận của hàm sóng 50
PHỤ LỤC 7: Biểu diễn Fourier của toán tử A 52
PHỤ LỤC 8: Đưa toán tử A về dạng chuẩn 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55