Luận Văn Phương pháp tập mức không lưới cơ sở toán học và khả năng ứng dụng trong ngành kỹ thuật dầu khí

TÓM TẮT: Độ tin cậy và tính thiết thực của việc mô phỏng một quá trình vật lý không
những phụ thuộc vào mô hình toán học mô tả quá trình, thường ở dạng những phương trình vi
phân, mà còn phụ thuộc vào độ chính xác và tính hiệu quả của phương pháp số dùng để giải
các phương trình vi phân đó. Bài báo này trình bày cơ sở lý thuyết một phương pháp số mới
mang tên phương pháp Tập mức Không lưới (Meshless Level set method) trong đó những tính
năng ưu việt của 2 nhóm phương pháp không lưới (meshless) và tập mức (level set) được tích
hợp để giải các bài toán biên di động. Một số bài toán mẫu giải bằng phương pháp này được
trình bày trong bài báo để minh họa cho độ chính xác và tính hiệu quả của nó cũng như khả
năng ứng dụng của phương pháp trong ngành kỹ thuật dầu khí.
1. GIỚI THIỆU
Đa số mô hình toán mô tả một quá trình vật lý thường ở dạng các phương trình vi phân. Đối
với bài toán đa biến, ta có các phương trình vi phân riêng phần. Việc tìm nghiệm của những
phương trình này nói chung là phức tạp nên thông thường không thể dùng phương pháp giải
tích được. Thay vào đó, người ta sử dụng các phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng của
chúng. Hiện nay các phương pháp số được sử dụng phổ biến gồm có phương pháp sai phân hữu
hạn (finite difference method - FDM), phần tử hữu hạn (finite element method - FEM), khối
hữu hạn (finite volume method - FVM), v.v . Xin xem [Tannehill et al. (1997), Chung
(2002)] để biết thêm chi tiết. Các phương pháp này được gọi chung là phương pháp rời rạc hóa
theo không gian. Đối với các bài toán phụ thuộc thời gian, ta cần thêm công cụ số để rời rạc
hóa phương trình vi phân theo biến thời gian. Xin xem [Quarteroni and Valli (1994),
Quarteroni et al. (2000)] để biết thêm chi tiết về các phương pháp này.
Nếu như các phương pháp FDM, FEM, FVM, v.v rời rạc hóa phương trình vi phân trên
cơ sở chia nhỏ miền tính toán thành một lưới (mesh) gồm những phần tử ràng buộc lẫn nhau
trên lưói theo những nguyên tắc xác định (ta gọi chung các phương pháp này là nhóm phương
pháp dựa vào lưới) thì đối với các phương pháp không lưới, miền tính toán được chia thành
một tập hữu hạn các điểm rời rạc, có thể bố trí tùy ý (unstructured) và không có bất kỳ mối
ràng buộc nào về vị trí tương đối giữa chúng trong quá trình tính toán. Kết quả là các phương
pháp không lưới rất thích hợp cho các bài toán có biến dạng lớn (như trong cơ học rạn nứt)
hoặc các bài toán có biên di động (như dự đoán quá trình điền khuôn đúc hoặc mô phỏng mặt
tiến dầu-nước/khí-dầu trong quá trình bơm ép/thu hồi tăng cường dầu) trong khi đối với các
phương pháp dựa vào lưới, việc giải các bài toán này sẽ rất phức tạp (đôi khi làm giảm độ
chính xác của lời giải) do phải thường xuyên điều chỉnh lưới bị biến dạng trầm trọng. Có nhiều
phương pháp không lưới [Kansa (1990a,b), Aluri (2002)], trong đó có phương pháp Indirect
Radial Basis Function Networks (IRBFN) [Mai-Duy and Tran-Cong (2001,2003)] dùng để giải
các phương trình vi phân không lệ thuộc thời gian. Phương pháp này gần đây đã được mở rộng
để giải các bài toán phụ thuộc thời gian [Mai-Cao and Tran-Cong (2003,2004,2005)].
Các phương pháp số để giải bài toán biên di động đã và đang được các nhà nghiên cứu quan
tâm vì tính phức tạp của bản thân các biên di động (moving boundaries). Có hai nhóm phương
pháp số được sử dụng cho các bài toán dạng này: Nhóm phương pháp dựa trên lưới di động và
nhóm phương pháp sử dụng lưới cố định. Phương pháp Tập mức (level set method) thuộc
Science & Technology Development, Vol 9, No.11- 2006
Trang 80
nhóm phương pháp thứ hai, do Osher and Sethian (1988) đề xuất. Phương pháp này ban đầu
được thiết lập để sử dụng với nhóm các phương pháp dựa vào lưới như FDM, FEM, FVM
[Sethian (1999), Osher and Fedkiw (2003)]. Trong bài báo này, phương pháp tập mức được
triển khai trên nền tảng của phương pháp không lưới IRBFN.