Tài liệu Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình vi phân tuyến tính

ĐỀ TÀI: Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình vi phân tuyến tính

Mục lục


Lời nói đầu 3

Chương 1. Khái niệm mở đầu về phương pháp sai phân 5

1.1. Mở đầu 5
1.2. Khái niệm về bài toán biên 5
1.3. Bài toán vi phân . 5
1.4. Lưới sai phân . 6
1.5. Hàm lưới . 6
1.6. Đạo hàm lưới 6
1.7. Qui ước viết vô cùng bé 7
1.8. Công thức Taylor 7
1.9. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới . 8
1.10. Phương pháp sai phân . 9
1.11. Giải bài toán sai phân bằng phương pháp truy đuổi . 9
1.11.1. Phương pháp truy đuổi từ phải .10
1.11.2. Phương pháp truy đuổi từ trái 11
1.12. Sự ổn định của bài toán sai phân 12
1.13. Sự xấp xỉ . 12
1.14. Sự hội tụ 13
1.15. Trường hợp điều kiện biên loại ba 14

Chương 2. Phương pháp sai phân giải gần đúng phương tŕnh vi phân cấp bốn 18

2.1. Bài toán vi phân 18
2.2. Lưới sai phân 19
2.3. Hàm lưới 19
2.4. Đạo hàm lưới 19
2.5. Phương pháp sai phân . 20
2.6. Cách giải bài toán sai phân . 27
2.6.1. Phương pháp lặp Seidel co dăn 27
2.6.2. Phương pháp truy đuổi 28
2.6.2.1. Phương pháp truy đuổi từ phải . 28
2.6.2.2. Phương pháp truy đuổi từ trái . 31
2.6.2.3. Sự ổn định 34
2.7. Sự xấp xỉ . 37
2.8. Sự ổn định của bài toán sai phân 37
2.9. Bài toán sai phân đối với sai sè 49
2.10. Sự hội tụ và sai sè 50
Phụ lục 58
Tài liệu tham khảo 84

Lời nói đầu



Trong lĩnh vực toán ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan tới phương tŕnh vi phân thường. Việc nghiên cứu phương tŕnh vi phân thường v́ vậy đóng một vai tṛ quan trọng trong lư thuyết toán học. Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương tŕnh vật lư toán. Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số Ưt trường hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm được nhờ vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm. C̣n trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ th́ nghiệm tường minh của bài toán không có hoặc có nhưng rất phức tạp. Chính v́ vậy chúng ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để t́m nghiệm gần đúng.
Do nhu cầu của thực tiễn và của sự phát triển lư thuyết toán học, các nhà toán học đă t́m ra rất nhiều phương pháp để giải gần đúng các phương tŕnh vi phân thường (các phương pháp giải tích như phương pháp chuỗi Taylo, phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica, các phương pháp số như phương pháp một bước, phương pháp Ađam, phương pháp Runghe-Kuta, ).
Đề tài: Phương pháp sai phân giải gần đúng phương tŕnh vi phân tuyến tính

Trong phạm vi đồ án của ḿnh, em xin tŕnh bày một phương pháp gần đúng để giải phương tŕnh vi phân cấp bốn tổng quát là phương pháp sai phân. Đây là một trong hai lớp phương pháp gần đúng quan trọng được nghiên cứu nhiều là phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn. Cả hai phương pháp đều t́m cách đưa bài toán đă cho về một bài toán đại số, thường là một hay nhiều hệ đại số tuyến tính. Trong phương pháp này miền trong đó ta t́m nghiệm của phương tŕnh thường được phủ bằng một lưới gồm một số hữu hạn điểm (nút), c̣n các đạo hàm trong phương tŕnh được thay bằng các sai phân tương ứng của các giá trị của hàm tại các nút lưới.
Em xin cám ơn thầy Lê Trọng Vinh đă tận t́nh hướng dẫn em trong thời gian làm đồ án vừa qua.


Hà nội 
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Đức Dũng







Chương 1
Khái niệm mở đầu

về phương pháp sai phân


1.1 Mở đầu
Trong chương này để tŕnh bày những khái niệm cơ bản của phương pháp sai phân ta sẽ xét bài toán biên đối với phương tŕnh vi phân cấp hai.
1.2 Khái niệm về bài toán biên
Bài toán biên có phương tŕnh vi phân cấp lớn hơn hoặc bằng hai và điều kiện bổ sung được cho tại nhiều hơn một điểm.
Chẳng hạn bài toán biên đối với phương tŕnh vi phân tuyến tính cấp hai có dạng:

Bài toán trên được gọi là bài toán biên loại một.
Nếu điều kiện biên được thay thế bởi điều kiện biên:
th́ ta có bài toán biên loại ba nếu . C̣n nếu th́ ta có bài toán biên loại hai.
Trong thực tế ta c̣n gặp những bài toán mà tại và có điều kiện biên khác nhau (chẳng hạn tại ta có điều kiện biên loại 1 c̣n tại ta có điều kiện biên loại hai hoặc ba) khi đó ta có bài toán biên hỗn hợp.
Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phương pháp sai phân thông qua bài toán biên loại một.
1.3 Bài toán vi phân
Cho hai sè và với . T́m hàm xác định tại thỏa măn:

trong đó là những hàm số cho trước đủ trơn thỏa măn:


c̣n là những số cho trước.
Giả sử bài toán có nghiệm duy nhất đủ trơn trên .
1.4 Lưới sai phân
Ta chia đoạn thành đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài bởi các điểm . Mỗi điểm gọi là một nút lưới, gọi là bước lưới.
· Tập gọi là tập các nút trong.
· Tập gọi là tập các nút biên.
· Tập gọi là một lưới trên .


[TABLE=align: left]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]


[SUP] [/SUP]
1.5 Hàm lưới
Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới . Giá trị của hàm lưới tại nút viết là .
Một hàm số xác định tại mọi sẽ tạo ra hàm lưới có giá trị tại nút là .
1.6 Đạo hàm lưới
Xét hàm lưới . Đạo hàm lưới tiến cấp một của . Kư hiệu là , có giá trị tại nút là:

Đạo hàm lưới lùi cấp một của , kư hiệu là , có giá trị tại nút là:

Sau đây ta sẽ thấy rằng khi bé th́ đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm thường (xem các công thức ).
Do đó có đạo hàm lưới cấp hai :

Nếu là một hàm lưới th́:

1.7 Qui ước viết vô cùng bé
Khái niệm “xấp xỉ” liên quan đến khái niệm vô cùng bé. Để viết các vô cùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng qui ước sau đây:
Giả sử đại lượng là một vô cùng bé khi . Nếu tồn tại số và hằng số không phụ thuộc sao cho:

th́ ta viết:

Viết nh­ trên có nghĩa là: khi nhỏ th́ là một đại lượng nhỏ và khi th́ tiến đến số không chậm hơn.
1.8 Công thức Taylor
Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây v́ nó là công thức quan trọng được sử dụng để xấp xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
Giả sử là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp trong một khoảng chứa , có thể dương hay âm. Khi đó theo công thức Taylor ta có:
trong đó là một điểm ở trong khoảng từ đến .
Có thể viết: .
Ta giả thiết thêm:

Khi đó là một vô cùng bé khi . Tức là tồn tại hằng số không phụ thuộc vào sao cho:

Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn nh­ sau:

1.9 Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới
Giả sử hàm đủ trơn. Theo công thức Taylor ta có:

Ta suy ra



Ngoài ra với qui ước:

Ta c̣n có

Ta suy ra


Do đó

Đồng thời

1.10 Phương pháp sai phân
Ta t́m cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng tại các nút . Gọi các giá trị gần đúng đó là . Muốn có ta thay bài toán vi phân bởi bài toán sai phân:

trong đó:
1.11 Giải bài toán sai phân (1.9) – (1.10) bằng phương pháp
truy đuổi
Viết cụ thể bài toán ta có:

Đó là một hệ đại số tuyến tính dạng ba đường chéo có thể giải bằng phương pháp truy đuổi.
Xét hệ ba đường chéo tổng quát:

trong đó:

Nh­ vậy hệ là trường hợp riêng của hệ khi:

1.11.1 Phương pháp truy đuổi từ phải

Ta t́m nghiệm của hệ ở dạng:

Khi đă biết các và th́ cho phép tính các lùi từ phải sang trái. V́ lẽ đó phương pháp mang tên phương pháp truy đuổi từ phải.
Để tính các ta viết trong đó thay bởi :

Thay này vào , ta được:

Do

Điều kiện này được thỏa măn nhờ giả thiết . V́ ta có:
Theo giả thiết , ta có nên . Do đó:

Một cách tương tự, giả sử . Ta chứng minh đúng với . Điều này rơ ràng v́

Ta suy ra:

Giả thiết cũng là điều kiện đảm bảo cho công thức truy đuổi ổn định.
Với điều kiện th́ cho:

Đối chiếu với , ta suy ra:

Tại , công thức viết:

Đối chiếu với công thức thứ nhất của , ta suy ra:

Sau đó từ cho phép tính tất cả các .
Bây giờ công thức tại viết:

Kết hợp với công thức thứ hai của , ta được:

Do giả thiết và các đă được chỉ ra ở trên nên ta luôn có . Suy ra cho:

Sau đó cho phép tính ra các .
Vậy có thuật toán:


1.11.2 Phương pháp truy đuổi từ trái
Ta t́m nghiệm ở dạng:

Ta có thuật toán sau:


1.12 Sự ổn định của bài toán sai phân

Trước hết để đo độ lớn của hàm lưới và hàm lưới , ta sử dụng các chuẩn:

Định nghĩa. Nói bài toán sai phân là bài toán ổn định nếu nó có nghiệm duy nhất với mọi vế phải và điều kiện biên, đồng thời nghiệm thỏa măn:

Ư nghĩa của bài toán ổn định là:
Bài toán sai phân có nghiệm duy nhất, đồng thời nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương tŕnh sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vế phải của phương tŕnh sai phân và điều kiện biên thay đổi Ưt th́ nghiệm cũng thay đổi Ưt.
Bất đẳng thức nói lên ư nghĩa đó, ta gọi đó là bất đẳng thức ổn định của bài toán .
1.13 Sự xấp xỉ

Bằng công thức Taylor , ta có:


Một cách tương tự:

Ta suy ra:


Do đó:

V́ lẽ đó ta nói toán tử sai phân xấp xỉ toán tử vi phân tới cấp .
Hơn nữa, v́ và nên ta cũng nói: bài toán sai phân xấp xỉ bài toán vi phân .
1.14 Sự hội tụ
Định nghĩa. Gọi là nghiệm của bài toán vi phân và là nghiệm của bài toán sai phân .
Nói phương pháp sai phân hội tụ nếu:
khi
tức là:

khi
hay:
khi
Nói phương pháp sai phân có cấp chính xác nếu:

Định lư. Phương pháp sai phân là phương pháp hội tụ với cấp chính xác .
Chứng minh. Đặt ta có:

Theo :

Theo và :

Vậy thỏa măn:

Do đó, áp dụng bất đẳng thức ổn định ta được:

Suy ra:

Định lư được chứng minh.
1.15 Trường hợp điều kiện biên loại ba

- là những hằng số
.
Ta có:

Nh­ vậy, ta thấy nếu thay th́ sai số địa phương tại biên chỉ đạt cấp do đó sẽ ảnh hưởng đến sai số trên toàn lưới. Để đạt được sai số tại biên cấp , ta sử dụng thêm chính phương tŕnh tại .

Thay đẳng thức này vào :

Bá qua và thay hàm cần t́m bởi , ta nhận được đẳng thức xấp xỉ của điều kiện biên tại , đạt sai sè :

Hoàn toàn tương tự với biên , ta có:

Vậy ta có hệ phương tŕnh sau đối với bài toán biên loại ba:

Đây là hệ đại số tuyến tính có ma trận hệ số dạng ba đường chéo, giải được bằng công thức truy đuổi.
Thí dô : Xét bài toán

Giải : Ta chọn , nghĩa là chia đoạn làm 4 phần bằng nhau bởi các điểm chia.

Ta có thể viết lại phương tŕnh đă cho như sau:

Suy ra:
Nghiệm gần đúng là nghiệm của hệ phương tŕnh sau:

Tính các hệ số:

Thay số vào ta được:

Đây là hệ đại số tuyến tính dạng ba đường chéo được giải theo phương pháp truy đuổi đă nêu ở trên.
Sau khi giải ra ta được kết quả:
.
Ta có thể t́m được nghiệm tổng quát của phương tŕnh đă cho là:

Dựa vào các điều kiện biên, ta t́m được .
Suy ra nghiệm riêng tương ứng của phương tŕnh là:

So sánh với các nghiệm gần đúng tại các nút lưới, ta có bảng kết quả sau:
[TABLE=align: center]
[TR]
[TD][/TD]
[TD] [/TD]
[TD]Nghiệm gần đúng
[/TD]
[TD]Nghiệm đúng
[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]


Sai số đạt:


Chương 2

Phương pháp sai phân giải gần đúng phương tŕnh vi phân cấp bốn

Trong chương một ta đă xét các khái niệm của phương pháp sai phân thông qua bài toán biên đối với phương tŕnh vi phân cấp hai nhằm hiểu được tư tưởng của phương pháp. Chương này sẽ đi vào nội dung chính của đồ án là dùng phương pháp sai phân để giải gần đúng phương tŕnh vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết.
2.1 Bài toán vi phân
Cho hai sè và với . T́m hàm xác định tại thỏa măn:

trong đó:
liên tục và các đạo hàm liên tục
liên tục và đạo hàm liên tục
là những hàm số liên tục
đồng thời

là những hàm số cho trước
là những hàm số liên tục cho trước.
Định lư về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Phương tŕnh có dạng: Nếu
liên tục trong một miền nào đó trong và nếu là một điểm thuộc th́ trong một lân cận nào đó của điểm , tồn tại một nghiệm duy nhất của phương tŕnh thỏa măn các điều kiện:

Xem [5] phần tài liệu tham khảo.
2.2 Lưới sai phân
Ta chia đoạn thành đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài bởi các điểm . Mỗi điểm gọi là một nút lưới, gọi là bước lưới

[TABLE=align: left]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]



· Tập gọi là tập các nút trong
· Tập gọi là tập các nút biên
· Tập gọi là một lưới trên
2.3 Hàm lưới
Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới . Giá trị của
hàm lưới tại nút viết là .
Một hàm số xác định tại mọi sẽ tạo ra hàm lưới có giá trị tại nút là .
2.4 Đạo hàm lưới
Giả sử hàm đủ trơn. Theo công thức Taylor, ta có

Ta suy ra



và nh­ ta đă biết gọi là đạo hàm lưới tiến và lùi cấp một của .
Qui ước:
Ta c̣n có

Ta suy ra

Do đó


[TABLE]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]

Đồng thời

2.5 Phương pháp sai phân
Giả sử bài toán vi phân thỏa măn định lư về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, ta t́m cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng tại các nút .
Gọi các giá trị gần đúng đó là . Muốn có ta thay bài toán vi phân bởi bài toán sai phân tương ứng.
· Đặt
Từ ta suy ra

Theo ta có


Ta có:

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được:

Suy ra

Hay
Thay vào ta được

Thay vào ta được

· Đặt
Cũng từ ta suy ra

trong đó


Thật vậy


(giả thiết: )