Thạc Sĩ Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân J-đơn điệu trong không gian Banach

Mục lục
Bảng ký hiệu 3
Mở đầu . 4
1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 6
1.1 Không gian Banach. Ánh xạ J-đơn điệu 6
1.1.1 Không gian Banach. Không gian Hilbert 6
1.1.2 Ánh xạ J-đơn điệu 10
1.1.3 Giới hạn Banach . 16
1.2 Bất đẳng thức biến phân . 17
1.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 17
1.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 19
2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân J-đơn
điệu 24
2.1 Phương pháp lặp Mann. Phương pháp lai đường dốc nhất 24
2.1.1 Phương pháp lặp Mann . 24
2.1.2 Phương pháp lai đường dốc nhất 25
2.2 Phương pháp đường dốc nhất - kiểu Mann . 25
2.2.1 Mô tả phương pháp 252
2.2.2 Sự hội tụ . 26
Kết luận 37
Tài liệu tham khảo 383
BẢNG KÝ HIỆU
X không gian Banach thực
X
∗
không gian liên hợp của X
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền giá trị của toán tử A
Fix(T) tập điểm bất động của toán tử T
H không gian Hilbert
C tập con lồi đóng của H
I ánh xạ đơn vị
P C phép chiếu mêtric H lên tập con lồi đóng C của H
x n → x dãy {x n } hội tụ mạnh tới x
x n * x dãy {x n } hội tụ yếu tới x4
MỞ ĐẦU
Cho X là một không gian Banach thực và J : X → 2 X
∗
là ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc của X, ở đây X
∗
là ký hiệu không gian liên hợp
của X. Cho {x n } là một dãy các phần tử trong X. Ký hiệu x n → x
(tương ứng x n * x) chỉ sự hội tụ mạnh (tương ứng hội tụ yếu) của dãy
{x n } tới x ∈ X. Cho F : X → X là một ánh xạ phi tuyến. Ký hiệu
C = Fix(T) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T : X → X,
nghĩa là Fix(T) = {x ∈ X : Tx = x}. Trong đề tài này chúng tôi xét
bài toán bất đẳng thức biến phân VI
∗
(F, C) trên tập điểm bất động
của ánh xạ không giãn trong không gian Banach với ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J đơn trị như sau:
Tìm u
∗
∈ C sao cho : hF(u
∗
), J(u
∗
ư v)i ≤ 0, ∀v ∈ C. (0.1)
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trong
nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình vi phân,
điều khiển tối ưu, quy hoạch toán học, cơ học, tài chính,
Mục đích của luận văn nhằm trình bày phương pháp lặp giải bất
đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn
(0.1) với toán tử J-đơn điệu trong bài báo của L.-C. Ceng và các cộng
sự [6] công bố năm 2008.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach" nhằm
trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian Banach, ánh
xạ không giãn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; Bài toán bất đẳng thức5
biến phân và phương pháp chiếu gradient giải bất đẳng thức biến
phân. Các kiến thức của chương này được tham khảo trong các tài
liệu [1]-[9].
Chương 2 với tiêu đề "Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến
phân J-đơn điệu" nhằm giới thiệu phương pháp lặp Mann, phương
pháp lai đường dốc nhất, phương pháp đường dốc - kiểu Mann giải
bất đẳng thức biến phân J-đơn điệu. Nội dung của chương này được
viết trên cơ sở bài báo [6].
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến sĩ
Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc nhất tới cô.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông
tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các Thầy
Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều
kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Tác
giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo
đơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều
kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu.