Thạc Sĩ Phương pháp không lưới rbiem với miền địa phương tròn giải hệ phương trình navier-stokes

Giới thiệu tổng quan

Phương pháp phần tử biên (BEM) để giải phương trình Navier-Stokes là một trong những bài toán được các nhà khoa học quan tâm. Khi dùng phương trình tích phân biên, số hạng phi tuyến xuất hiện trong tích phân miền. Có nhiều phương pháp khác nhau để giải số hạng phi tuyến đó như Zheng et al. [11] dùng phương pháp nghiệm riêng, Power và Partridge [7] sử dụng phương pháp đối ngẫu tương hỗ (DRM). Nhưng kết hợp giữa BEM và DRM chỉ giải được các bài toán dòng chảy phức tạp với số Reynolds nhỏ bằng 40 hay 100. Bằng phương pháp phân chia miền con [4, 8] Power và Mingo đã giải bài toán cho số Reynolds cao hơn với độ chính xác cao hơn. Tuy nhiên phương pháp BEM-DRM đã xấp xỉ đạo hàm của vận tốc trong số hạng phi tuyến thông qua hàm bán kính cơ sở và tạo ra phương trình đại số tuyến tính với số phương trình lơn hơn số ẩn làm tăng độ phức tạp của bài toán.
Bên cạnh đó, phương pháp không lưới kết hợp với phương trình tích phân biên đang được quan tâm rộng rãi bởi tính chính xác mà phương trình tích phân biên mang lại. Trong đó phương pháp không lưới tích phân miền địa phương (LBIE) đưa ra bởi Zhu et al. [12, 13] giải bài toán Poison và bài toán phi tuyến dựa trên xấp xỉ dịch chuyển bình phương tối thiểu với ý tưởng tạo ra biên địa phương trên mỗi nút. Sau đó Sellountos và Sequeira [10] dùng LBIE để giải phương trình Navier-Stokes với cách tiếp cận dùng phương pháp nghiệm đi kèm để xấp xỉ số hạng phi tuyến. Gần đây, Popov và Bui [5] đưa ra phương pháp không lưới dựa trên phương trình tích phân biên và hàm bán kính cơ sở (RBIEM) để giải bài toán khuếch tán nhiễu, trong đó phương trình tích phân biên được áp dụng trên mỗi miền con địa 3 phương tương ứng với mỗi nút. Khi đó RBIEM tạo ra hệ phương trình đại số tuyến tính với số phương trình bằng số ẩn để giải, ma trận hệ số là ma trận thưa. RBIEM được áp dụng để giải hệ phương trình Navier-Stokes, trong đó với mỗi nút trong miền tính toán, có bảy ẩn số tương ứng với bảy phương trình tích phân biên. Thay vì phải xấp xỉ biến đạo hàm riêng của vận tốc ∂ui ∂ xh hàm bán kính cơ sở.

Ý tưởng của phương pháp RBIEM là xây dựng một miền con địa phương ứng với mỗi nút bên trong và trên biên miền tính toán. Về lý thuyết, những miền con địa phương này có thể có hình dạng bất kỳ. Khi đó để tích phân trên biên của miền bất kỳ, RBIEM phân rã biên thành những phần tử, tích phân trên biên địa phương sẽ được tính trên từng phần tử và sau đó được ghép lại. Trên thực tế, để thuận tiện trong quá trình tính toán, miền con được RBIEM tạo ra là những miền tròn. Nhưng khi đó, để tính tích phân biên có thể dùng phương pháp khác đơn giản hiệu quả hơn việc phân rã biên.

Trong luận văn này, phương pháp không lưới RBIEM cải tiến được đề xuất. Để thuận tiện, ta gọi phương pháp RBIEM cải tiến là m-RBIEM (modified RBIEM). Để tính tích phân trên biên của miền con, thay việc rời rạc biên thành các phần tử bằng cách thêm vào các nút trên biên, phương pháp không lưới m-RBIEM sẽ sử dụng hệ tọa độ cực để tính trực tiếp các tích phân khi miền con có dạng hình tròn. Phương pháp m-RBIEM đưa ra lời giải số chính xác hơn, tiết kiệm thời gian tính toán hơn và dễ dàng hơn trong việc lập trình giải các bài toán thực tế.

Cấu trúc luận văn được trình bày như sau:
- Chương 1: Giới thiệu tổng quan về phương pháp không lưới dùng phương trình tích phân biên.
- Chương 2: Đề cập phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes.
- Chương 3: Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes.
- Chương 4: Kết quả số.

Mục lục
1 Giới thiệu tổng quan 3
2 Phương pháp không lưới RBIEM giải phương trình Navier-Stokes 5
2.1 Phương trình tích phân biên và phương pháp đối ngẫu tương hỗ . 5
2.2 Nội suy hàm giá trị 11
2.3 Phương pháp không lưới RBIEM . 13
2.4 Số hạng phi tuyến . 17
3 Phương pháp RBIEM với miền địa phương tròn giải hệ phương trình NavierStokes
20
4 Kết quả số 26