Tài liệu Phương pháp hàm số trong giải toán

ĐỀ TÀI: Phương pháp hàm số trong giải toán

MỞ ĐẦU
Định nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở chương trình sách giáo khoa lớp 10. Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng dụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm số. Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ở chương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12.
Dùng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta tìm được GTLN, GTNN , xét được khoảng đồng biến , nghich biến của hàm số và xét được tính lồi lõm của đồ thị hàm số.
Từ các ứng dụng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta giải được một số bài toán trong phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, xét sự hội tụ của dãy số và chứng minh bất đẳng thức.
Trong bài viết này chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của phương pháp hàm số vào trong giải toán.
I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y)  x = y với mọi x, y  D.
Chứng minh:
a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức là f(a) = k.
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm.
b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.
Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm.
2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a).
Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.
Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra phương trình vô nghiệm.
3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x = 4 - x.
Giải: Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0.
Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R
f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0  x R. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.
Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.