Tiến Sĩ Phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

Luận án tiến sĩ năm 2013
Đề tài: Phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic


Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu iv
Danh sách hình vẽ iv
Danh sách bảng vii
Mở đầu 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trự 8
1.1. Không gian Sobolev 8
1.1.1. Một số ký hiệu và định nghĩa 8
1.1.2. Không gian Sobolev 10
1.1.3. Công thức Green và bất đẳng thức Poincare 12
1.2. Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song
điều hòa 13
1.2.1. Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai với các điều
kiện biên hỗn hợp, không thuần nhất 13
1.2.2. Bài toán biên của phương trình song điều hòa 15
1.3. Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp 19
1.3.1. Lược đồ lặp hai lớp 19
1.3.2. Định lý cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp 20
1.4. Xây clựng thư viện chương trình giải bài toán biên hỗn hợp yếu 21
1.4.1. Bài toán biên Dirichlet 23
1.4.2. Bài toán với điều kiện biên Neumann trên ít nhất một cạnh . 25
Chương 2. Phương pháp gần đúng giải một số bài toán biên của phương trìnli elliptic cấp hai 31
2.1. Phương pháp gần đúng giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 31
2.1.1. Mõ hình bài toán mặt phãn cách 31
2.1.2. Một số hướng tiếp cận 33
2.1.3. Phương pháp lặp 35
2.1.4. Một trường hợp riêng 43
2.1.5. Các ví dụ thử nghiệm 46
2.2. Phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình
elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 53
2.2.1. Mõ tả phương pháp 54
2.2.2. Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp 56
2.2.3. Một trường hợp riêng 60
2.2.4. Kết quả thử nghiệm và so sánh với một số phương pháp 63
2.2.5. Áp clụng giải bài toán Motz 64
Chương 3. Phương pháp giải gần đúng bài toán biên của phương
trìnli song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 68
3.1. Một số hướng tiếp cận giải phương trình song điều hòa 68
3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên
hỗn hợp mạnh 72
3.2.1. Phát biểu bài toán 72
3.2.2. Mô tả phưdug pháp 73
3.2.3. Nghiêu cứu sự hội tụ của phương pháp 75
3.2.4. Sư (tồ lặp kết hợp 79
3.2.5. Các ví dụ thử nghiệm 81
3.2.6. Giải gầu đúng một bài toán vết nứt trong cơ học 83
3.3. Phương pháp kết hợp giải gần đúng bài toán về độ uốn của bản có
giá đỡ bẽn trong 86
3.3.1. Mô hình bài toán độ uốn của bản có giá đỡ bên trong . 86
3.3.2. Phương pháp kết hợp giải bài toán với bản có một LPIS 89
3.3.3. Phương pháp kết hợp giải bài toán có hai LPIS 97
Kết luận chung 106
Danh mục các công trình đã công bố 109
Tài liệu tham khảo 111



MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán vật lý và cơ học được II1Ô hình hóa bởi cáo phương trình đạo hàm riêng. Trong lý thuyết các bài toán biên đối với các phương trình này thì các bài toán biên hỗn hợp, trong đó dạng các điều kiện biên thay đỗi trong phạm vi của một mặt hay một đường đủ trơn trên biên của miền được đặc biệt quan tâm, vì tại vị trí phân cách các dạng điều kiện biên thường xuất hiện kỳ dị của cáo đại lượng nào đó, ví dụ Iihư luồng nhiệt, điện thế, ứng suất, moment lực hay lực cắt, .Theo G. I. Popov và N. A. Rostovtsev, các bài toán trên được gọi là các bài toán hỗn hợp thực sự f,Co6cTBeHHo cMeraaHHue" [57]. Trong luận án này, để thuận tiện chúng tôi gọi các bài toán này là các bài toán hỗn hợp mạnh (theo nghĩa trên một phần biên trơn có sự thay đổi cáo loại điều kiện biên). Nói chung rất khó để có thể tìm được lời giải đúng của các bài toán này. Vì vậy, việc giải gần đúng các bài toán hỗn hợp bằng các phương pháp số trở thành công cụ pho biến Iihư phương pháp sai phàn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp không lưới, . Bản chất của các phương pháp số là rời rạc hóa bài toán vi phân trong miền hoặc trên biên và kết quả dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính nói chung là cỡ lớn. Chất lượng của các phương pháp cho rriỗi bài toán được đặc trưng bởi độ chính xác của lời giải gần đúng của bài toán, độ phức tạp tính toán tức khối lượng tính toán và dung lượng bộ nhớ cần thiết để thu được lời giải gần đúng đó.
Trong khoảng ba thập kỷ nay để giái các bài toán trong miền hình học phức tạp, phương pháp chia miền đã được đề xuất và phát triển nhằm đưa các bài toán trong các miền hình học phức tạp về các bài toán trong các miền hình học đơn giản, mà đối với chúng đã sẵn có các thuật toán hữu hiệu và phần mềm tiện lợi. Diều cốt yếu trong phương pháp này như Herrera đã chỉ ra trong [32] là "thu thập thông tin trên biên phân chia các miền con, đủ để các bài toán trong mỗi miền con là đặt chỉnh". Thông thường, thông tin trên biên phân chia là giá trị của ẩn hàm. Giá trị này được cập nhật bởi một quá trình lặp. Phụ thuộc cách cập nhật giá trị của ẩn hàm người ta phân biệt hai cách tiếp cận chính (xem [59]): phương pháp Dirichlet-Neumann và phương pháp Neumann-Neumann. Trong ngữ cảnh miền íì của bài toán biên Dirichlet được phân chia thành hai miền con íỉ) và iì‘> bởi biên nhân tạo r thì trong phương pháp Dirichlet-Neumann trên mỗi bước lặp đầu tiên bài toán Dirichlet với giá trị xấp xỉ đã biết của ẩn hàm được giái trong một miền, sau đó giải bài toáu với điều kiện biên Neumann trên biên r trong miền khác và cập nhật giá trị của ẩn hàm trên r. Phương phốp này đă được đề xuất và nghiên cứu bởi Bjostard và Windlund (1986). Marini và Quadteroni (1989). Saito và Fujita (2001) [66]. Trong phương pháp Neumann-Neumann đầu tiên các bài toán Dirichlet được giái trong mỗi miền con, sau đó để cập nhật giá trị của ẳii hàm trên biên phân chia người ta phải giải liai bài toán chứa điều kiện biên Neumann trên phần biên đó. Phương pliáp này đã được đề xuất và nghiên cứu bởi Bourgat, Glowinski [28], Le Tallec và Vidrascu [47]. Ngoài hai phương pháp nêu trên, với sự cập nhật điều kiện Dirichlet một số tác giả còn sử dung điều kiên hỗn liơp Robin dang -7— + Xìiị trên biên chia miền như Lions [43], Hou và Lee [34], Lube [49].
Mới đây trong luận án Tiến sĩ của Vũ Vinh Quang (2007) [78], các tác giả đã đề xuất một phương pháp chia miền mới, trong đó khác với các tác giả trước, đạo hàm pháp tuyến của ẩn hàm được cập nhật thay cho giá trị của ẩn hàm. Các bài toán đã được xét đến trong luận án này là: Bài toán biên của phương trình Poisson với điều kiệu biên Dirichlet, bài toán biên của phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp yếu (theo nghĩa trên một phần biên trơn chỉ có một loại điều kiện biên) và bài toán biên của phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp mạnh được giải bằng phương pháp lặp tuần tự. Các thực nghiệm tính toán cho các miền hình học đơn giản và phức tạp đã chứng tỏ phương pháp này hội tụ nhanh hơn các phương pháp cập nhật ẩn hàm mặc dù về mặt 15' thuyết chưa chứng minh được tính vượt trội của I1Ó.
Nhận thức được tính hữu hiệu của phương pháp chia miền mới này, luận án đặt mục đích tiếp tục phát triển phương pháp và kết hợp với các kỹ thuật lặp để xây dựng các phương pháp mới. giải gần đúng các bài toán phức tạp hơn các bài toán trên và có tính ứng dụng trong thực tế. Đó là:
(1) Bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai với các hệ số gián đoạn, ở đó có thể có các bước nhảy của hàm và đạo hàm qua một hoặc nhiều mặt phân cách (bài toán này được phát biểu cụ thể trong mục 2.1.3, chương 2).
(2) Các bài toán biên cho phưdng trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh (phát biểu trong các mục 2.2.1, chương 2 và mục 3.2.1, chương 3).
(3) Một số bài toán trong cơ học, đó là các bài toán vết nứt (Crack Prob¬lems). bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ



Tài liệu tham khảo
[1] Aubin J. P. Approximation of elliptic boundary-value problems, Wilev- Interscience, 1971.
[2] Adams. R.A. Sobolev spaces. Academic Press, New York. 1975.
[3] Abramov A. A. and Ulijanova V. I., A method for solving biharmonic- type equations with a singularly occurring small parameter, J. of Comp. Math, and Math. Phys., V. 32. No 4, 481-487, 1992.
[4] Andrea Toselli, Olof Widlund. Domain Decomposition Methods: Algo¬rithms and Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005.
[5] Bosko S Jovanovie and Lubin G. Vulkov, Finite Difference Approx¬imation of an Elliptic Interface Problem with Variable Coefficients. Numerical Analysis and Its Applications, Lecture Notes in Computer Science, Vol 3401/2005, 46-55, 2005.
[6] Bialecki B Karageorghis A., A Legendre Special Galerkin Method for the Biharmonic Dirichlet Problem, SIAM Journal on Scientific Computing, Vol 22, Issue 5, 1549-1569, 2000.
[7] Cioranescu D. and Patrizia D., An Introduction to Homogenization. Oxford Press, 1999.
Ill
[8] Cakoni F Hsiao G. c. and Wendland w. L., On the Boundary In¬tegral Equation Method for a Mixed Boundary Value Problem of the Biharmonic Equation, Complex Variables, Theory and Application, Vol 50, 681-696, 2005.
[9] Ciarlet p. G The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland. Amsterdam, 1978.
[10] Dang Q. A, Approximate method for solving an elliptic problem with discontinuous coefficients, Journal of Comput. and Applied Math.,51, 193-203, 1994.
[11] Dang Q. A, Parametric extrapolation as a parallel method in math¬ematical physics., Tạp chi Tin học và Điều khiển học , No 1, 1-9, 2001.
[12] Dang Q. A, V. V. Quang, Domain decomposition method for solv¬ing an elliptic boundary value problem, in book: Method of Complex and Clifford Analysis, SAS International Publications, Delhi, 309-319, 2006.
[13] Dang Q. A, Vu V. Q., A domain decomposition method for strongly mixed boundary value problems for the Poisson equation, In book H.G. Bock et al (eds): Modeling, Simulation arid Optimization of Complex Processes, Springer, 65-76, 2012.
[14] Dang Q. A, Boundary operator method for approximate solution of biharmonic type equation, Vietnam Journal of Math. Vol. 22, No. 1-2, 114-120, 1994.
112