Thạc Sĩ Phương pháp đạo hàm và các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Lời mở đầu

Trong những năm gần đây, các kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi bậc trung học phổ thông thường gặp những bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một đại lượng nào đó. Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng sâu sắc, có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh. Các bài toán về cực trị góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư duy cho học sinh. Bài toán đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất . trong một bài toán. Để dần dần hình thành cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này.

Luận văn trình bày một số ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán cực trị. Luận văn chỉ đề cập tới một số phương pháp giải một số loại toán cực trị đại số thường gặp trong chương trình toán học trung học phổ thông. Luận văn hệ thống hóa, phân loại toán và trình bày theo từng ý tưởng cũng như các kỹ năng vận dụng đạo hàm vào việc giải một lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Luận văn gồm có 3 chương với các nội dung sau:

Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức khái niệm cần thiết như đạo hàm, tính đơn điệu và hàm lồi và được tham khảo trong [3].

Chương 2: Luận văn trình bày phương pháp sử dụng đạo hàm vào giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Chương 2 luận văn trình bày phương pháp khảo sát trực tiếp hàm số trên tập xác định của hàm số, khảo sát theo hàm số từng biến, đặt biến phụ chuyển về đánh giá hàm một biến, đánh giá thông qua biểu thức bậc nhất, hay phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, hàm lõm . được tham khảo trong [1, 5, 6, 2, 7, 4].

Chương 3. Luận văn trình bày phương pháp để tìm cực trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến số. Từ đó tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và được tham khảo trong [3].

Mục lục
Lời mở đầu 4
1 Một số kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm . 6
1.2 Cực trị của hàm số . 7
1.3 Các định lí cơ bản về hàm khả vi . 8
1.4 Hàm lồi và hàm lõm 9
2 Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số 11
2.1 Khảo sát trực tiếp hàm số trên miền xác định 11
2.2 Khảo sát hàm số theo từng biến 17
2.3 Đặt biến phụ chuyển về đánh giá hàm số một biến 30
2.4 Đánh giá gián tiếp thông qua biểu thức bậc nhất 44
2.5 Phương pháp sử dụng tính chất của hàm lồi, hàm lõm . 51
3 Cực trị hàm nhiều biến 59
3.1 Cực trị tự do 59
3.2 Cực trị có điều kiện . 63