Thạc Sĩ Phương pháp cho nửa nhóm Cauchy

MỞ ĐẦU

Bài toán Cauchy trừu tượng của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là bài toán có lịch sử lâu đời trong chuyên ngành Giải tích ứng dụng. Nó được áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực khoa học như vật lý học, sinh học, kỹ thuật, tài chính .
Khi xét bài toán này ta thường gặp các khả năng khác nhau về nghiệm của nó. Theo định nghĩa của Hadamard, bài toán Cauchy được gọi là đặt chỉnh đều nếu nó tồn tại nghiệm, nghiệm này là duy nhất và nghiệm phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện của bài toán. Phương pháp nửa nhóm đã được phát triển mạnh mẽ và có vai trò quan trọng trong việc giải quyết bài toán Cauchy cho các phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử không bị chặn.
Luận văn nghiên cứu bài toán Cauchy trừu tượng dạng thuần nhất u t Au t u x ' , 0 , ( ) = ( ) ( ) = t ≥ 0, (CP) trong đó A: X X → là toán tử tuyến tính, đóng, không bị chặn trên không gian Banach X và u X : . \+ → Mục tiêu chính của luận văn nhằm trình bày việc ứng dụng phương pháp C0 ưnửa nhóm và phương pháp nửa nhóm n ưlần tích hợp trên không gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy trên.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1 - Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của C0 ưnửa nhóm. Đây là loại nửa nhóm đơn giản nhất trong số lớp các toán tử không bị chặn và bài toán Cauchy tương ứng được đặt chỉnh đều. Từ đó đưa ra một số ví dụ minh họa.
Chương 2 - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng của lớp nửa nhóm C0 đó là nửa nhóm n ưlần tích hợp và nửa nhóm n ưlần tích hợp địa phương bị chặn mũ, không suy biến. Áp dụng phương pháp này để nghiên cứu tính ( ) n,ω ư đặt chỉnh của bài toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình. Trong chương này chúng tôi cũng đã đưa ra một số ví dụ minh họa dựa trên các phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn. Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian qua thầy đã dành nhiều thời gian và công sức, tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy phản biện, các thành viên Xêmina thuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em để luận văn được hoàn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, các thầy Viện Toán học Việt Nam cùng các giáo sư nước ngoài đã từng tham gia giảng dạy tại trường. Trong những năm qua thầy cô đã tâm huyết truyền đạt những kiến thức vô cùng quý báu cho chúng em, giúp em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt là kiến thức chuyên ngành cần thiết để ứng dụng khi thực hiện luận văn.
Cuối cùng là lời cảm ơn đến cơ quan, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tác giả được đi học, động viên khích lệ và giúp đỡ về mọi mặt để tác giả có thêm động lực học tập và hoàn thiện luận văn.

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 2
Chương 1 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 ư NỬA NHÓM 4
1.1 C0 ưnửa nhóm 4
1.2 Bài toán Cauchy 12
1.3 Một số ví dụ 21
Chương 2 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM
n ưLẦN TÍCH HỢP
30
2.1 Nửa nhóm n ưlần tích hợp 30
2.2 Bài toán Cauchy ( ) n,ω ư đặt chỉnh 37
2.3 Nửa nhóm n ưlần tích hợp địa phương 40
2.4 Một số ví dụ 50
KẾT LUẬN 58
Tài liệu tham khảo 59