Thạc Sĩ Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu

Nhan đề : Phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu
Tác giả : Bùi Thị Nghĩa
Năm xuất bản : 2015
Nhà Xuất bản : Đại học Khoa học Thái Nguyên

Mở đầu
Giải tích lồi là bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan. Bộ môn này có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặc biệt là trong tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng. Một trong những vấn đề quan trọng của giải tích lồi đó là phép chiếu. Đây là một công cụ sắc bén và khá đơn giản để chứng minh nhiều định lý quan trọng như Định lý tách, Định lý xấp xỉ tập lồi, Định lý về tồn tại nghiệm của Bất đẳng thức biến phân. Hơn nữa phép chiếu còn được dùng để xây dựng các phương pháp giải nhiều lớp bài toán quan trọng như bài toán quy hoạch lồi, bất đẳng thức biến phân.
Bài toán bất đẳng thức biến phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kỹ thuật, vật lý toán, vận trù học. Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan tới việc giải các bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" của D. Kinderlehrer và G. Stampacchia , xuất bản năm 1980 và trong cuốn sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Application to Free Boundary Problems" của C. Baiocci và A. Capelo , xuất bản năm 1984. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều được giới thiệu khá đầy đủ trong cuốn Finite-Dimensional Variational-Inequalities and Complementarity Problems của S. Facchinei and J. Pang (2003).
Những năm gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển rất mạnh và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Có rất nhiều phương pháp giải, trong đó có phương pháp dựa vào cách tiếp cận điểm bất động. Ý tưởng chính của phương pháp này là chuyển việc giải bất đẳngthức biến phân về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Một trong những cách tiếp cận điểm bất động là dựa trên phương pháp chiếu.
Một lớp bài toán quan trọng của bất đẳng thức biến phân là bài toán
Quy hoạch lồi là một lớp bài toán cơ bản của tối ưu hóa. Một đặc điểmbcơ bản nhất của bài toán này là mọi điểm cực tiểu địa phương đều làbbcực tiểu tuyệt đối. Hơn nữa lý thuyết về bài toán quy hoạch lồi đã được quan tâm nghiên cứu và đã thu được nhiều kết quả quan trọng dựa trên lý thuyết của giải tích lồi và tối ưu hóa. Có nhiều phương pháp hữu hiệu cho bài toán này, các phương pháp đó được giới thiệu trong cuốn sách Tối ưu lồi (Convex Optimization) của tác giả Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe do nhà xuất bản Cambridge University Press in năm 2004.
Mục đích của luận văn này chủ yếu trình bày về ứng dụng của phép chiếu vuông góc vào bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tôí ưu.
Luận văn bao gồm 3 chương:
Chương 1 nhắc lại các kiến thức cơ bản của tập lồi và hàm lồi, dưới vi phân, tính đơn điệu, phép chiếu lên tập lồi.
Chương 2 giới thiệu về bài toán quy hoạch lồi và trình bày phương pháp chiếu dưới gradient xấp xỉ.
Chương 3 giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân và trình bày một số phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân.

Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn iii
Mở đầu 1
1 Toán tử chiếu lên tập lồi đóng 3
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản 3
1.1.1 Tập lồi và hàm lồi 3
1.1.2 Dưới vi phân 6
1.1.3 Tính đơn điệu 7
1.2 Phép chiếu lên tập lồi . 8
2 Phương pháp chiếu
giải quy hoạch lồi. 14
2.1 Bài toán quy hoạch lồi . 14
2.1.1 Mô tả bài toán . 14
2.1.2 Sự tồn tại nghiệm tối ưu . 16
2.1.3 Điều kiện tối ưu . 17
2.2 Phương pháp chiếu dưới gradient xấp xỉ . 26
3 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân
(VIP). 33
3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân . 33
3.1.1 Mô tả bài toán . 33
3.1.2 Sự tồn tại nghiệm . 34
3.1.3 Các bài toán liên quan . 39
3.2 Phương pháp chiếu giải bài toán (VIP) . 42
3.2.1 Phương pháp chiếu cơ bản . 42
3.2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường . 48
Kết luận. 51
Tài liệu tham khảo 52