II. NỘI DUNG MÔN HỌC: Chương 1: Giới hạn - Hàm số liên tục 24 tiết (14/10/0) 1.1. Giới hạn của dãy số thực 1.1.1. Dãy số, dãy con, giới hạn của dãy số. 1.1.2. Các định lý cơ bản về giới hạn của dãy số: Các phép tính hữu tỷ trên các dãy số, sự bảo toàn thứ tự của phép qua giới hạn; Nguyên lý (điều kiện cần và đủ) Cauchy của sự hội tụ; sự hội tụ của dãy đơn điệu; giới hạn riêng, giới hạn trên, giới hạn dưới và điều kiện cần và đủ của sự hội tụ; áp dụng: số e và logarit tự nhiên. 1.2. Tôpô trên R 1.2.1. Lân cận, tập mở, tập đóng. 1.2.2. Tập bị chặn và tập compact, định lý Bolzano-Weierstras, nguyên lý Cantor (về dãy đoạn ***g nhau thắt lại). 1.3.Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục 1.3.1. Giới hạn của hàm số. Các định lý cơ bản của giới hạn hàm số. 1.3.2. Vô cùng lớn. Vô cùng bé. Các giới hạn đáng nhớ. 1.3.3. Hàm liên tục. Các định lý cơ bản về hàm liên tục. Sự liên tục (gián đoạn) của hàm đơn điệu. Hàm liên tục trên một đoạn (tính liên tục đều, bị chặn, sự tồn tại của Max, Min) Chương 2: Tô pô trên - Hàm liên t ục trên 24 tiết (14/10/0) 2.1. Không gian mêtric 2.1.1. Định nghĩa mêtric và không gian mêtric 2.1.2. Lân cận, tập mở, tập đóng, phần trong, bao đóng, biên của một tập, tập liên thông. 2.2. Tôpô trên 2.2.1. Không gian vectơ . Chuẩn Euclide, mêtric sinh bởi chuẩn Euclide. Tập mở, tập đóng, tập bị chặn trong . 2.2.2. Giới hạn của dãy điểm trong , nguyên lý hội tụ Cauchy. 2.2.3. Tập compact trong , định lý Bolzano-Weierstras, nguyên lý Cantor (về dãy đoạn ***g nhau thắt lại). 2.3. Hàm số nhiều biến số. Giới hạn. Hàm liên tục. 2.3.1. Giới hạn của hàm trên . Các tính chất cơ bản của giới hạn. 2.3.2. Hàm liên tục. Các điều kiện của sự liên tục. 2.3.3. Hàm số liên tục trên tập compact. 2.3.4. Hàm vectơ trên . Chương 3: Phép tính vi phân 33 tiết (18/15/0) 3.1. Hàm khả vi trên R 3.1.1. Định nghĩa đạo hàm. Các qui tắc tính đạo hàm: đạo hàm hàm hợp, hàm ngược, hàm cho dưới dạng tham số. 3.1.2. Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản. 3.1.3. Các định lý về giá trị trung bình: Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy. 3.1.4. Vi phân, ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng. 3.1.5. Đạo hàm cấp cao - Leibniz. Vi phân cấp cao. 3.1.6. Công thức Taylor. 3.1.7. Qui tắc L'Hôpital với các giới hạn dạng vô định. 3.2. Hàm khả vi trên 3.2.1. Định nghĩa đạo hàm và vi phân. Đạo hàm theo hướng và mối liên hệ của nó với đạo hàm. 3.2.2. Những tính chất cơ bản của đạo hàm (tính duy nhất, tính tuyến tính, .), các qui tắc lấy đạo hàm (đạo hàm hàm hợp, qui tắc Leibniz). 3.2.3. Đạo hàm riêng. Biểu diễn đạo hàm qua đạo hàm riêng (ma trận Jacobi). 3.2.4. Công thức số gia giới nội và ứng dụng. 3.2.5. Ứng dụng hình học: Đường cong trong (với n=2,3); hình bao của họ đường cong; Mặt cong trong . Tiếp tuyến, pháp tuyến, mặt phẳng tiếp xúc. 3.3. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao 3.3.1. Đạo hàm riêng cấp 2. Vi phân cấp 2. 3.3.2. Đạo hàm riêng cấp cao. Vi phân cấp cao. 3.3.3. Tính đối xứng của vi phân (hay sự không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm riêng). 3.3.4. Công thức Taylor. 3.4. Cực trị địa phương 3.4.1. Cực trị địa phương. Điều kiện cần của cực trị. 3.4.2. Điều kiện cần và đủ cho cực trị địa phương, 3.4.3. Cực trị có điều kiện. Định lý Lagrange. 3.5. Định lý về hàm ngược và hàm ẩn (không chứng minh). Chương 4: Tích phân một lớp 24 tiết (14/10/0) 4.1. Tích phân xác định 4.1.1. Định nghĩa tích phân, ý nghĩa hình học và vật lý 4.1.2. Các điều kiện khả tích: Điều kiện cần, điều kiện cần và đủ (qua tích phân Darboux). Định lý Lebesgue (không chứng minh). 4.1.3. Các tính chất cơ bản của tích phân (tuyến tính, cộng tính, bảo toàn bất đẳng thức, tính khả tích và khả tích của giá trị tuyệt đối, của tích, của thương hàm khả tích) 4.1.4. Lớp các hàm khả tích thường gặp: Hàm liên tục, hàm gián đoạn tại một số hữu hạn điểm, hàm đơn điệu bị chặn 4.1.5. Các định lý về trung bình tích phân 4.1.6. Các phương pháp tính tổng quát để tính tích phân: công thức Newton-Leibniz, công thức đổi biến, công thức tích phân từng phần. 4.2. Nguyên hàm 4.2.1. Định nghĩa. Nguyên hàm của các hàm sơ cấp cơ bản 4.2.2. Tích phân các hàm hữu tỷ 4.2.3. Phép hữu tỷ hoá, tích phân một số hàm vô tỷ 4.2.4. Tích phân các hàm lượng giác 4.3. Tích phân suy rộng 4.3.1. Tích phân suy rộng: với cận vô tận của hàm không bị chặn 4.3.2. Các tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng 4.4. Ứng dụng của tích phân một lớp 4.4.1. Độ dài cung, cách tính 4.4.2. Diện tích của hình phẳng, cách tính 4.4.3. Thể tích của khối tròn xoay, diện tích mặt tròn xoay Chương 5: Chuối số - dãy và chuỗi hàm 27 tiết (15/12/0) 5.1. Chuỗi số 5.1.1. Định nghĩa về chuỗi số, sự hội tụ của chuỗi sỗ. Các điều kiện (cần, cần và đủ) của sự hội tụ của chuỗi số. 5.1.2. Các tính chất cơ bản của chuỗi hội tụ 5.1.3. Chuỗi số dương. Các tiêu chuẩn hội tụ: Cauchy, D’Alembert, tích phân. 5.1.4. Chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Leibniz 5.1.5. Chuỗi hội tụ tuyệt đối. Các tính chất. 5.1.5. Chuỗi hội tụ không tuyệt đối, định lý Riemann (không chứng minh) 5.2. Dãy hàm 5.2.1. Miền hội tụ của dãy hàm 5.2.2. Hội tụ đều. Tiêu chuẩn hội tụ đều 5.2.3. Tính chất của giới hạn dãy hàm hội tụ đều: tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích. Định lý Dini (không chứng minh). 5.3. Chuỗi hàm 5.3.1. Miền hội tụ của chuỗi hàm. Sự hội tụ đều. Các tiêu chuẩn hội tụ đều 5.3.2. Tính chất của tổng chuỗi hàm hội tụ đều: tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích và việc qua giới hạn, lấy đạo hàm, tích phân dưới dấu tổng. 5.4. Chuỗi luỹ thừa 5.4.1. Chuỗi luỹ thừa. Bán kính hội tụ, miền hội tụ. 5.4.2. Tính liên tục, khả vi, khả tích và việc lấy đạo hàm, tích phân dưới dấu tổng của chuỗi luỹ thừa 5.4.3. Chuỗi Taylor của hàm số. 5.5. Chuỗi Fourier 5.5.1. Tính trực giao của hệ hàm lượng giác. Chuỗi Fourier và sự hội tụ của nó 5.5.2. Kai triển Fourier - Khai triển theo Sin, theo Cos. Chương 6: Tích phân bội (2,3 lớp) và tích phân phụ thuộc tham số 28 tiết (16/12/0) 6.1. Tích phân trên hình hộp 6.1.1. Định nghĩa tích phân trên hình hộp. Điều kiện cần để khả tích 6.1.2. Các tính chất cơ bản (tuyến tính, bảo toàn bất đẳng thức, tính khả tích tuyệt đối ) 6.1.3. Điều kiện cần và đủ cho tính khả tích (liên hệ với tổng Darboux). 6.2. Tích phân trên miền đo được (tích phân Riemann) 6.2.1. Tích phân lặp. Định lý Fubini 6.2.2. Định nghĩa (qua tích phân trên hình hộp) 6.2.3. Các tính chất cơ bản 6.2.4. Điều kiện cần và đủ cho tính khả tích 6.2.5. Tích phân lặp. Định lý Fubini 6.3. Vài ứng dụng của tích phân bội 6.3.1. Diện tích hình phẳng 6.3.2. Thể tích hình khối 6.4. Tích phân phụ thuộc tham số 6.4.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi: tính liên tục, khả vi, khả tích và việc qua giới hạn, đạo hàm, tích phân dưới dấu tích phân 6.4.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận thay đổi: tính liên tục, khả vi, khả tích 6.4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số: Sự hội tụ đều, tính liên tục, khả vi, khả tích và việc qua giới hạn, đạo hàm, tích phân dưới dấu tích phân 6.5. Biến đổi Fourier. Các tính chất, công thức nghịch đảo. Chương 7: Tích phân đường và mặt 26 tiết (15/11/0) 7.1. Tích phân đường 7.1.1. Tích phân đường loại I Đường cong trên mặt phẳng và trong không gian Tích phân đường loại I Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại I Đổi biến số trong tích phân đường loại I 7.1.2. Tích phân đường loại II Định hướng đường cong Định nghĩa tích phân đường loại II Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại II Liên hệ giữa hai loại tích phân đường Công thức Green Các điều kiện cần và đủ để tích phân đường loại II theo đường cong nối hai điểm không phụ thuộc đường đi 7.2. Tích phân mặt 7.2.1. Khái niệm về mặt cong 7.2.2. Diện tích mặt cong 7.2.3. Tích phân mặt loại I, các tính chất 7.2.4. Mặt cong định hướng. Tích phân mặt loại II trên mặt cong định hướng, các tính chất 7.2.5. Các công thức tích phân cơ bản (Ostrogradski-Gauss, Stokes) 7.3. Ứng dụng 7.3.1. Khối lượng, trọng tâm, mômen 7.3.2. Khái quát về lý thuyết trường Trường vô hướng và trường vector Các khái niệm div, rot, grad 7.3.3. Dạng vector của các loại tích phân đường, mặt và các công thức tích phân cơ bản, ý nghĩa cơ học, vật lý của chúng. Chương 8: Phương trình vi phân thường 24 tiết (14/10/0) 8.1. Định nghĩa: Phương trình vi phân, nghiệm riêng và nghiệm tổng quát. Bài toán Cauchy. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (không chứng minh) 8.2. Phương trình vi phân cấp I 8.2.1. Phương trình với biến số phân ly 8.2.2. Phương trình thuần nhất 8.2.3. Phương trình tuyến tính và các phương trình Bernoulli - Riccati 8.2.4. Phương trình Clairaut, Lagrange 8.2.5. Phương trình vi phân hoàn chỉnh. Nhân tử tích phân 8.3. Phương trình vi phân cấp II 8.3.1. Các trường hợp đưa được về cấp I 8.3.2. Phương trình tuyến tính thuần nhất Nghiệm độc lập tuyến tính Định thức Wronski (chỉ cho kết quả) Cấu trúc của nghiệm tổng quát Phương trình với hệ số hằng 8.3.3. Phương trình tuyến tính không thuần nhấtvới hệ số hằng. Các phương trình với vế phải đặc biệt. Phương pháp biến thiên hằng số. 8.3.4. Hệ hai phương trình vi phân cấp I với hệ số hằng số 8.4. Các hàm đặc biệt: hàm Hermite, hàm Legendrre, hàm Laguerre. IV. DỰ KIẾN KIỂM TRA VÀ THI CỦA MÔN HỌC: V. TÀI LIỆU THAM KHẢO: VI. NGƯỜI BIÊN SOẠN: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn LỊCH HỌC: năm thứ nhất - Học kỳ I: 105 tiết (7 học trình) - Học kỳ II: 105 tiết (7 học trình)
