Luận Văn Phép quy nạp trong hình học

Lời nói đầu



Phép quy nạp được sử dụng rộng rãi trong số học đại số và lý thuyết số. Và phép quy nạp được coi là 1 tuyệt chiêu trong toán học. Nó là một trong những phương pháp tiếp cận bài toán rất độc đáo. Quy nạp thường được dùng trong việc chứng minh một khẳng định nào đó. Nhìn chung, giải bài toán theo phương pháp quy nạp nghĩa là đưa bài toán này thành 2 bài toán con nhỏ hơn để giải quyết.

Hai bài toán con nhỏ hơn này thường là :

P1: Là bài toán tương tự như bài toán đã cho, có giả thiết là trường hợp đặc biệt của giả thiết của bài toán ban đầu, P1 thường được giải dễ dàng.

P2: Ta chứng minh sau 1 phép biến đổi (*) giả thiết của bài toán tương tự như bài toán ban đầu thành một giả thiết khác, điều khẳng định vẫn còn đúng.

(Với điều kiện rằng sau 1 số lần hữu hạn thực hiện phép biến đổi (*) như vậy đối với giả thiết của P1, ta thu được bài toán ban đầu, nhờ vậy bài toán ban đầu được chứng minh)

Lấy 1 ví dụ nhỏ. Ta hãy chứng minh với một số n thuộc tập thì luôn tồn tại một số có n chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 sao cho này chia hết cho 2 .

P1: n=1. Số cần tìm là 2.

P2: Ta chứng minh sau phép biến đổi giả thiết : Tăng n lên 1 đơn vị, bài toán vẫn đúng (Sau 1 số lần hữu hạn tăng 1 đơn vị liên tiếp, ta có thể "biến" số n=1 thành bất kì số nào trong tập N* và điều này dẫn đến bài toán đúng )

Hãy giả sử bài toán đã đúng với n=k, nghĩa là ta sẽ phải chứng minh bài toán cũng đúng với n=k+1.

Ta có : = .q

Nếu q lẻ ta sẽ chọn = ,

Nếu q chẵn thì chọn = .

Dễ nhận thấy (cần phải chứng minh, nhưng khá đơn giản) số chỉ gồm các chữ số 1,2 và nó chia hết cho

Như vậy, rõ ràng Quy nạp có 1 sức mạnh tuyệt vời khi giải quyết những bài toán chứng minh. Ta thường xuyên gặp những bài toán mang tính chất đại số giải quyết bằng phương pháp quy nạp và trong phần lớn các tài liệu về phương pháp này, có rất ít tài liệu đề cập đến việc sử dụng phương pháp Quy nạp để giải quyết bài toán Hình Học. Nhưng những ứng dụng của nó trong hình học lại vô cùng lý thú và hấp dẫn. Phép quy nạp không chỉ ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp dụng trong việc chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích cả trong mặt phẳng và trong không gian, ở hình học sơ cấp và hình học cao cấp. Vì vậy đề tài Phép quy nạp trong hình học là một đề tài thiết thực khai thác vào một phương pháp giải toán hình học mà chưa được nhắc tới nhiều.

Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tôi không đưa ra các khái niệm, định lý, tính chất mới mà chỉ trình bày các nội dung chính thuộc đề tài, các dạng bài tập, thí dụ minh họa và bài tập ứng dụng.

Mặc dù đã tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu cùng với sự nổ lực của bản thân nhưng do trình độ hiểu biết có hạn nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự góp ý của thầy giáo Ths. Nguyễn Chiến Thắng và bạn đọc.

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Ths. Nguyễn Chiến Thắng, Thư viện Đại học Vinh và toàn thể các bạn sinh viên lớp 49A Toán đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này !