I.Giới thiệu: -Trong một tập hợp hữu hạn các số thực, luôn luôn có thể chọn một số nhỏ nhất và một số lớn nhất. -Trong trường hợp tập hợp vô hạn các số tự nhiên (thõa mãn một tính chất nào đó) ta có thể chọn được số nhỏ nhất trong tập hợp đó II.Ví dụ: Bài toán 1: Cho n (n>2) đường thẳng trong mặt phẳng, cứ 3 đường bất kỳ thì đồng quy. CM : n đường thẳng ấy đồng quy. Giải: Vừa đọc đề , bạn đọc có thể nghĩ ngay đến việc chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp. Nhưng với phép quy nạp ta dễ mắc sai lầm trong lúc chứng minh từ k sang k+1 và phép chứng minh không chặt chẽ. Ta sẽ giải quyết bài toán bằng cách sử dụng nguyên lý cực hạn. Giả sử các đường thẳng không đồng quy. Xét các khoảng cách khác 0 từ mỗi điểm đến các đường thẳng không đi qua nó ( tồn tại một điểm như vậy theo giả thiết phản chứng ). Trong các khoảng cách đó, chọn ra đoạn ngắn nhất, giả sử đó là đoạn AH từ điểm A đến đường thẳng d. Qua A có ít nhất có ba đường thẳng đi qua, gọi giao điểm của chúng là B,C,D. Tồn tại hai điểm nằm cùng phía với H, chẳng hạn là C,D.Giả sử C nằm giữa H và D khi đó dễ dàng chứng minh khoảng cách từ C đến AD nhỏ hơn AH (vô lý). Vậy điều giả sử là sai tức là các đường thẳng điều đồng quy.
