Thạc Sĩ Phép biến đổi mellin và các toán tử toeplitz giao hoán

Luận văn thạc sĩ
Đề tài: PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN VÀ CÁC TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN

Mục lục
Lời cảm ơn . 1
Lời mở đầu . 3
Chương 1. HÀM CHỈNH HÌNH, KHÔNG GIAN BERGMAN
VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN . 5
1.1.Hàm chỉnh hình 5
1.2.Điều kiện Cauchy - Riemann 6
1.3.Chuỗi Taylor, chuỗi Laurent . 14
1.4.Không gian Bergman 23
1.5.Phép biến đổi Mellin . 24
1.6.Hàm Gamma, Beta 25
Chương 2. TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN TRÊN KHÔNG
GIAN BERGMAN 27
2.1.Kết quả chính . 27
2.2.Chứng minh kết quả chính . 27
2.3.Trường hợp ˆ yk
hữu tỉ 33
2.4.Trường hợp ˆ yk
vô tỉ . 37
2.5.Thảo luận . 43
Kết luận . 45
Tài liệu tham khảo . 46

LỜI MỞ ĐẦU
Toán tử Toeplitz giao hoán đã được nghiên cứu trong không gian
Hardy bởi những kết quả cổ điển của Brown và Halmol. Gần đây Zeljko
Cuckovic và N.V. Rao đã nghiên cứu và phát biểu bài toán này trong không
gian Bergman thông qua phép biến đổi Mellin. Cụ thể hơn, các tác giả đã
chứng minh được kết quả cơ bản sau :
Cho j và y là các hàm điều hòa bị chặn trên D. T

Chương 1, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hàm
chỉnh hình, không gian Bergman, phép biến đổi Mellin. Chúng là những
công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn.
Chương 2 là một chương quan trọng của luận văn. Trong chương này
chúng tôi nghiên cứu toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi
Mellin. Phần đầu chương trình bày điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz
giao hoán với các symbol j ; y là các hàm điều hòa. Phần tiếp theo chúng
tôi trình bày các kết quả về điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz giao
hoán thông qua phép biến đổi Mellin với j ; y 2 L
¥
(D; dA) và ˆ yk
là hữu
tỉ, vô tỉ.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khi làm đề tài không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong
nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.

Chương 1
HÀM CHỈNH HÌNH, KHÔNG GIAN BERGMAN VÀ
PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN
Trong chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là
các kiến thức sử dụng cho việc chứng minh chương sau. Một số kiến thức
quan trọng như khái niệm hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phân của hàm
chỉnh hình, chuỗi Taylor, chuỗi Laurent trong không gian phức, không
gian Bergman, phép biến đổi Mellin.

Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, Nhà xuất
bản Đại Học Quốc Gia , Hà nội.
[2] D. Zheng, Hankel operators and Toeplitz operators on the Bergman
space, J. Funct. Anal. 83 (1989), 98-120.
[3] E. T. Whittaker and G. N. Watson, "A Course of Modern Analysis",
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1994. (American Edition).
[4] S. Alex and P. Gorkin, Algebras on the disk and doubly commuting
multiplication operator, Tran. Amer. Math. Soc. 309 (1998), 711-723.
[5] S. Alex and Z. Cuckovic, Commuting Toeplitz operators with harmonic symbols, Integral Equations Operator Theory 14 (1991), 1-12.
[6] Z. Cuckovic, Commutants of Toeplitz operators on the Bergman
space, Pacific J. Math. 162 (1994),277-285.
[7] Z. Cuckovic and N.V.Rao, Mellin transform, Monomial Symbols,
and Commuting Toeplitz operators , Journal of functional analysis.
154 (1998), 195-214.