Thạc Sĩ Phép biến đổi laplace và ứng dụng trong giải phương trình vi phân và tích phân

Đến ngày nay, ta thấy phép biến đổi Laplace có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựccủa Toán học, Vật lý, Cơ học, . Chẳng hạn, trong Toán học, ta có thể sử dụng phépbiến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phươngtrình vi tích phân, . (xem [4], [5], [6]). Tư tưởng cơ bản của phép tính toán tử là phépthay các hàm được nghiên cứu (hàm gốc) bởi những hàm khác nào đó (hàm ảnh) theonhững quy tắc nào đó (mà thường là phép biến đổi Laplace). Luận văn trình bày những kiến thức cô đọng nhất của phép biến đổi Laplace và ứngdụng trong giải phương trình vi phân và tích phân. Luận văn được chia thành 3 chương:
ã Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
ã Chương 2: Các tính chất của phép biến đổi Laplace
ã Chương 3: Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và tích phân
Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn.

Mục lục
Lời cảm ơn i
Lời mở đầu . ii
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace . 1
1.2 Sự hội tụ . 2
1.3 Điều kiện hội tụ . 3
1.4 Phép biến đổi Laplace ngược 9
1.4.1 Công thức Mellin 9
1.4.2 Điều kiện đủ để tồn tại gốc 11
1.4.3 Tính tích phân Mellin . 12
1.4.4 Một số ví dụ . 13
2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 15
2.1 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace . 15
2.1.1 Tính chất tuyến tính 15
2.1.2 Tính chất đồng dạng 17
2.1.3 Các định lý dịch chuyển 18
2.1.4 Hàm Gamma 21
2.1.5 Ảnh của hàm tuần hoàn 23
2.2 Đạo hàm . 23
2.3 Tích phân 28
2.3.1 Định lý về tích phân gốc . 28
2.3.2 Định lý về tích phân ảnh . 30
2.4 Tích chập các hàm . 31
2.5 Tích phân Duhamel 36
3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và
tích phân 38
1
3.1 Phương trình vi phân 38
3.1.1 Phương pháp chung . 38
3.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng . 39
3.1.3 Phương trình vi phân với hệ số là đa thức 42
3.1.4 Giải phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp tích
phân Duhamel . 43
3.1.5 Hệ phương trình vi phân 45
3.2 Phương trình tích phân . 46
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo . 49