Tiến Sĩ Phân tích dao động phi tuyến trong hệ chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN . iii
LỜI CAM ĐOAN iv
MỤC LỤC . v
DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ viii
DANH MỤC BẢNG x
CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . xii
MỞ ĐẦU . 1
CHƯƠNG 1.TỔNG QUAN . 5
1.1. Giới thiệu 5
1.2. Các phương pháp nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến . 7
1.3. Hệ dao động chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên . 13
1.4. Mục tiêu của luận án . 15
CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . 16
2.1. Các khái niệm cơ bản trong giải tích ngẫu nhiên . 16
2.1.1. Sơ lược về lý thuyết xác suất . 16
2.1.1.1. Không gian xác suất . 16
2.1.1.2. Biến ngẫu nhiên . 17
2.1.2. Quá trình ngẫu nhiên . 21
2.1.2.1. Định nghĩa . 21
2.1.2.2. Một số quá trình ngẫu nhiên thường gặp 22
2.1.3. Tích phân ngẫu nhiên . 26
2.1.3.1. Mở đầu . 26 vi

2.1.3.2. Tích phân Ito – Tích phân Stratonovich 28
2.1.3.3. Tính chất của tích phân Ito . 29
2.1.4. Phương trình vi phân ngẫu nhiên . 31
2.2. Cơ sở lý thuyết nghiên cứu hệ dao động ngẫu nhiên 34
2.2.1. Phương pháp trung bình ngẫu nhiên theo biên độ và pha . 34
2.2.2. Phương pháp trung bình ngẫu nhiên trong hệ tọa độ Đề-các 36
2.2.3. Phương pháp hàm bổ trợ và lời giải phương trình Fokker-Planck (FP) 39
2.2.3.1. Phương pháp hàm bổ trợ 39
2.2.3.2. Nghiệm của phương trình FP với các hệ số dịch chuyển tuyến tính 40
2.2.3.3. Tuyến tính hóa tương đương- giải xấp xỉ phương trình FP . 46
2.2.4. Phương pháp mô phỏng số . 50
2.3. Kết luận chương 2 . 52
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TRONG HỆ PHI TUYẾN CHỊU KÍCH
ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN 53
3.1. Hệ dao động Van der Pol . 55
3.1.1. Tính toán lý thuyết . 56
3.1.2. Kết quả và thảo luận 58
3.1.3. So sánh với phương pháp phi tuyến tương đương 65
3.2. Hệ dao động Duffing . 67
3.2.1. Tính toán lý thuyết . 67
3.2.2. Kết quả và thảo luận 69
3.3. Dao động Van der Pol – Duffing . 74
3.3.1. Tính toán lý thuyết . 74
3.3.2. Kết quả và thảo luận 75
3.4. Hệ dao động Mathieu-Duffing . 79 vii

3.4.1. Tính toán lý thuyết . 79
3.4.2. Kết quả và thảo luận 82
3.5. Kết luận chương 3 . 87
CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH BAN ĐẦU ĐÁP ỨNG THỨ ĐIỀU HÒA TRONG HỆ
DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ TUẦN HOÀN 89
4.1. Giới thiệu 89
4.2. Kỹ thuật phân tích . 90
4.3. Kết quả và thảo luận 97
4.4. Kết luận chương 4 . 100
KẾT LUẬN 102
DANH SÁCH CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN . 105
TÀI LIỆU THAM KHẢO 106
PHỤ LỤC 112
Phụ lục A . 112
Phụ lục B . 116 viii

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Hệ một bậc tự do. a) Kết cấu toà nhà 1 tầng. b). Mô hình tương đương. . 8
Hình 2.1. Một quĩ đạo của chuyển động Brown (quá trình Wiener) . 23
Hình 2.2. Quĩ đạo của phương trình vi phân thường 27
Hình 2.3. Quĩ đạo của một quá trình ngẫu nhiên 27
Hình 3.1.1. Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
theo tham số Q . 61
Hình 3.1.2. Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
theo tham số Q so sánh với kết quả mô phỏng số 62
Hình 3.1.3. Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời ( ) , p x x & của hệ dao động Van
der Pol tại thời điểm 294 t s = 63
Hình 3.1.4. Đồ thị của hàm mật độ xác suất của dịch chuyển x theo các thời gian
khác nhau 64
Hình 3.1.5. Đồ thị của hàm mật độ xác suất của dịch chuyển x tại thời điểm
294 t = (s) . 64
Hình 3.1.6. Đồ thị đường cong ( ) 2 E x của hệ Van der Pol theo
n trong lân cận w
. 65
Hình 3.2.1. Kết quả tính toán ( ) E x t é ù
ë û và ( ) 2 E x t é ù
ë û bằng phương pháp giải tích
và so với kết quả mô phỏng số . 71
Hình 3.2.2. Đồ thị bình phương biên độ của đáp ứng trung bình theo tham số Q . 71
Hình 3.2.3. Đồ thị bình phương biên độ của đáp ứng trung bình theo tham số 2
s
. 72 ix

Hình 3.2.4. Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng
( ) 2 E x theo tham số 2
s
72
Hình 3.2.5. Đồ thị đường cong cộng hưởng của hệ Duffing. 73
Hình 3.3.1. Đồ thị trung bình theo thời gian của ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số phi tuyến
g . 78
Hình 3.3.2. Đồ thị trung bình theo thời gian của ( ) 2 E x t é ù
ë û theo biên độ lực kích
động tuần hoàn Q 78
Hình 3.4.1. Kết quả giải tích ( ) E x t é ù
ë û được so sánh với các kết quả số . 84
Hình 3.4.2. Kết quả giải tích ( ) 2 E x t é ù
ë û được so sánh với các kết quả số . 84
Hình 3.4.3. Đồ thị hàm mật độ xác suất đồng thời của hệ Mathieu-Dufing tại thời
điểm 294 t s = . 85
Hình 3.4.4. Đồ thị hàm mật độ xác suất của x tại thời điểm 294 t = (s) . 86
Hình 3.4.5. Đồ thị hàm mật độ xác suất của x tại vài thời điểm (s) . 86
Hình 4.1. Đồ thị trung bình theo thời gian của trung bình bình phương đáp ứng thứ
điều hòa theo tham số 2
s
. 99
Hình 4.2. Ảnh hưởng của 2
s
và
0
Q lên trung bình bình phương đáp ứng thứ điều
hòa . 99
Hình 4.3. Ảnh hưởng 2
s
và h lên trung bình bình phương đáp ứng thứ điều hòa . 100
x

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1.1. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số
e . 58
Bảng 3.1.2. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số
n . 59
Bảng 3.1.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số Q . 60
Bảng 3.1.4. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số 2
s
. 61
Bảng 3.1.5. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo kỹ thuật của luận án
và phương pháp phi tuyến tương đương theo tham số 66
Bảng 3.2.1. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số
g 69
Bảng 3.2.2. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số 2
s
69
Bảng 3.2.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số 2
s
với các
giá trị
e khác nhau 70
Bảng 3.3.1. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số
e 75 xi

Bảng 3.3.2. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số
n 76
Bảng 3.3.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số
g 76
Bảng 3.3.4. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số Q . 77
Bảng 3.3.5. Sai số giữa kết quả mô phỏng và các giá trị xấp xỉ của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E x t é ù
ë û theo tham số 2
s
77
Bảng 3.4.1. Sai số giữa kết quả mô phỏng và kết quả giải tích của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) ( ) 2 E x t theo tham số 2
s
. 82
Bảng 3.4.2. Sai số giữa kết quả mô phỏng và kết quả giải tích của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) ( ) 2 E x t theo tham số Q 83
Bảng 3.4.3. Sai số giữa kết quả mô phỏng và kết quả giải tích của trung bình theo
thời gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) ( ) 2 E x t theo tham số
g 83
Bảng 4.1. Sai số giữa kết quả xấp xỉ và kết quả mô phỏng của trung bình theo thời
gian của trung bình bình phương đáp ứng ( ) 2 E z t é ù
ë û theo tham số 2
s
. 98
xii

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
» Xấp xỉ
$ Tồn tại
" Với mọi
[ ] 0
, t T Khoảng đóng trên ¡
( ) 0
, t T Khoảng mở trên ¡

( ) m f Đạo hàm cấp m của hàm f
( ) 2 ~ , X N
m s
X có phân phối chuẩn với trung bình
m và phương sai 2
s

( ) P × Độ đo xác suất
( ) . p Hàm mật độ xác xuất
( ) E X Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X
( ) W t Quá trình Wiener
( ) tx
Ồn trắng
( ) .d
Hàm Dirac delta
ij
d
Ký hiệu hàm Kronecker delta
. Trung bình theo thời gian
x & Đạo hàm theo thời gian của x
.
mc
Kết quả trung bình theo thời gian được tính bằng mô phỏng số
Monte-Carlo
.
xx
Kết quả trung bình theo thời gian được tính theo kỹ thuật của luận
án

m n
M ´ Không gian các ma trận cỡ m n ´
( ) 1
0, L T Không gian các quá trình ngẫu nhiên đo được dần ( ) . f nhận giá
trị thực thoả mãn
0
T
E f dt
æ ö
< ¥ ç ư
è ø
ò xiii

( ) 2
0, L T Không gian các quá trình ngẫu nhiên đo được dần ( ) . f nhận giá
trị thực thoả mãn 2
0
T
E f dt
æ ö
< ¥ ç ư
è ø
ò
0.1 1/10
10,000 100 ´100
exp(x) e x , e là hằng số nepe
hc Hầu chắc chắn
cs Cộng sự
FP Fokker – Planck
tr. i Trang i 1




MỞ ĐẦU
Một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất trong thiết kế các hệ kỹ thuật hoặc
kết cấu là phải đánh giá được độ an toàn. Thường thì nhiệm vụ này rất phức tạp vì có
rất nhiều yếu tố có thể có ảnh hưởng đáng kể đến hệ kỹ thuật hoặc kết cấu mà ta khó
định nghĩa nó rõ ràng. Chẳng hạn, trong việc thiết kế tòa nhà cao tầng, các yếu tố ảnh
hưởng đến độ an toàn là nền đất, vật liệu xây dựng, gió, và động đất (Yang, 1986;
Narayanan và Kumar, 2012). Các yếu tố này có thể gây ra các đáp ứng có tính chất
thay đổi bất thường làm cho công trình nhanh xuống cấp, hư hỏng, thậm chí bị phá
hủy đột ngột.
Có rất nhiều hệ kỹ thuật/kết cấu chịu các tác động ngẫu nhiên như vậy, chẳng
hạn như các kết cấu trên biển chịu tác động của gió và các đợt sóng ngẫu nhiên, các
phương tiện giao thông chịu tác động ngẫu nhiên gây ra bởi mặt đường không bằng
phẳng, Trong thực tế không có hệ thống nào thực sự là hệ tuyến tính. Trong các hệ
kỹ thuật và kết cấu, tính phi tuyến tính có thể phát sinh từ tính phi tuyến hình học phát
sinh từ biến dạng lớn; tính chất đàn hồi phi tuyến của vật liệu kết cấu; tính phi tuyến
của cản, . (Manohar, 1995; Roberts và Spanos, 1999). Vì các hệ phải được thiết kế để
chịu được, với xác suất nhất định, các mức độ khắc nghiệt có thể có của kích động mà
chúng có thể gặp trong suốt quá trình vận hành, nên ảnh hưởng của tính phi tuyến rất
được quan tâm, coi trọng.
Các hệ phi tuyến chịu tác động của tổ hợp các kích động tuần hoàn và ngẫu
nhiên có thể xảy ra các hiện tượng phức tạp như các hiện tượng nhảy, rẽ nhánh, và hỗn
độn. Do đó để hiểu rõ ứng xử của hệ phi tuyến và thiết kế các hệ phi tuyến, phân tích
đáp ứng của các hệ phi tuyến ngẫu nhiên, và các hệ chịu đồng thời cả lực tuần hoàn và
ngẫu nhiên rất quan trọng trong động học kết cấu. Đặc tính xác suất của đáp ứng của
các hệ phi tuyến ngẫu nhiên có thể được xác định qua hàm mật độ xác suất, hay các
mô men đồng thời, hoặc qua các bán bất biến (cumulant). Tuy nhiên, rất khó để xác
định chính xác hàm mật độ xác suất và sự tiến triển theo thời gian của một hàm mật độ 2



xác suất phụ thuộc vào thời gian của đáp ứng ngoại trừ lớp nhỏ các trường hợp hệ phi
tuyến (Socha, 2008; Narayanan và Kumar, 2012).
Các hệ dao động chịu kích động ngẫu nhiên và (hoặc) tuần hoàn đã nhận được
sự quan tâm rất nhiều từ các nhà nghiên cứu trong vài thập kỷ qua. Các phương pháp/
kỹ thuật phân tích hệ dạng này thường được kết hợp từ các phương pháp đã biết trong
phân tích hệ tất định và phân tích hệ dao động chịu tác động ngẫu nhiên.
Trong các nghiên cứu giải tích, các nghiên cứu dựa vào phương trình Fokker-
Planck (FP) thường gặp khó khăn do phương trình FP ứng với hệ dao động không có
lời giải giải tích, trừ một số trường hợp riêng. Do đó các phương pháp/ kỹ thuật phát
triển trong các nghiên cứu thường chỉ giải quyết được một lớp bài toán dao động cụ
thể. Luận án cũng tập trung vào điểm mấu chốt này để đề xuất kỹ thuật phân tích cho
lớp rộng hơn các hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn.
Trong luận án này, tác giả đề xuất một kỹ thuật mới kết hợp hai phương pháp
kinh điển là phương pháp trung bình và phương pháp tuyến tính hoá để nghiên cứu hệ
dao động phi tuyến yếu chịu kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu. Ý tưởng chính
của phương pháp này là: thực hiện trung bình hóa phương trình dao động ban đầu
trong hệ tọa độ Đề-các, sau đó giải xấp xỉ phương trình FP có các hệ số dịch chuyển
phi tuyến ứng với các phương trình trung bình bằng cách sử dụng phương pháp tuyến
tính hoá tương đương (Kazakov, 1954) và phương pháp hàm bổ trợ (Nguyễn Đông
Anh, 1986).
Định hướng nghiên cứu:
Phát triển một kỹ thuật phân tích dao động của hệ phi tuyến bằng cách kết hợp
các phương pháp (hoặc kỹ thuật) đã biết, nhưng chủ yếu tập trung vào phương pháp
trung bình ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương, các phương pháp
giải phương trình FP.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Luận án nghiên cứu đặc trưng xác suất của đáp ứng của hệ dao động phi tuyến
yếu một bậc tự do chịu đồng thời kích động tuần hoàn và ngẫu nhiên yếu trong miền
cộng hưởng chính, được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp hai có dạng 3



( ) ( ) 2 , , , x x f x x t t
w e n esx
+ = + && & (0.1)
với
w và
n là các hằng số có quan hệ 2 2
w n e
- = D , D là tham số lệch tần,
s là tham
số dương,
e là tham số bé, f là hàm phi tuyến, được giả thiết là hàm tuần hoàn theo
thời gian t và là một đa thức theo x và x & , và hàm ( ) tx
là quá trình ồn trắng Gauss
có cường độ đơn vị.
Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp giải tích của lý thuyết dao động phi tuyến, trong đó tập trung
vào các phương pháp: Phương pháp trung bình ngẫu nhiên, phương pháp
tuyến tính hóa tương đương, phương pháp phương trình Fokker-Planck.
- Phương pháp giải phương trình Fokker-Planck bằng hàm bổ trợ.
- Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo.
Cấu trúc luận án:
Chương 1. Tổng quan
Trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu về phân tích hệ dao động phi tuyến
chịu kích động bởi lực ngẫu nhiên và lực tuần hoàn.
Chương 2. Cơ sở lý thuyết
Trình bày sơ lược về giải tích ngẫu nhiên liên quan đến luận án và các phương
pháp và kỹ thuật chính trong lý thuyết dao động phi tuyến được sử dụng để phát triển
kỹ thuật nghiên cứu dao động của hệ phi tuyến chịu đồng thời kích động tuần hoàn và
ngẫu nhiên.
Chương này cũng trình bày hai kết quả mới của luận án, đó là dựa vào phương
pháp hàm bổ trợ để đưa ra cách giải cho phương trình FP với các hệ số dịch chuyển là
các hàm tuyến tính và hệ số khuếch tán hằng số viết cho hàm mật độ xác suất dừng
ứng với hệ hai phương trình tuyến tính chịu kích động ồn trắng, từ đó đề xuất giải xấp
xỉ phương trình FP với các hệ số dịch chuyển là các hàm phi tuyến và hệ số khuếch tán
hằng số bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương.