Thạc Sĩ Phân hoạch đơn vị trên không Paracompact

Đề tài: Phân hoạch đơn vị trên không Paracompact
2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
----------------------------------------
Phan Thị Ngọc Hưng
PHÂN HOẠCH ðƠN VỊ
TRÊN KHÔNG GIAN PARACOMPACT
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH
Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 3
LỜI CÁM ƠN
Luận văn ñược hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ
Nguyễn Hà Thanh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến thầy - người ñã
từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu ñề tài cùng những kinh
nghiệm thực hiện ñề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền ñạt những kiến thức
quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin
trường ðại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh ñã giúp tác giả nâng cao
trình ñộ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình
học cao học.
Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau ñại
học ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này.
Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả ñã vài lần liên lạc với các
nhà toán học nước ngoài, ñặc biệt là giáo sư Jerzy Dydak ñã tận tình giải ñáp
các vấn ñề liên quan. Xin chân thành cám ơn giáo sư.
Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các ñồng nghiệp trường
THPT Dân lập An ðông ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá
trình học cao học.
Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao ñổi góp ý
và ñộng viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
TP. HCM tháng 8 năm 2008
Tác giả
Phan Thị Ngọc Hưng 4
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa . 2
Lời cám ơn 3
Mục lục 4
MỞ ðẦU . 9
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 12
1.1. Không gian tôpô 12
1.1.1. ðịnh nghĩa không gian tôpô . 12
1.1.2. Lân cận 12
1.1.3. Cơ sở . 13
1.1.4. Cơ sở lân cận . 13
1.1.5. ðiểm tụ (hay ñiểm giới hạn) 13
1.1.6. Phần trong, bao ñóng, tập trù mật 13
1.1.7. ðịnh nghĩa không gian khả li . 14
1.1.8. Các tiên ñề ñếm ñược 14
1.2. Ánh xạ liên tục 14
1.3. Ánh xạ mở, ánh xạ ñóng, phép ñồng phôi . 15
1.4. Không gian con . 16
1.4.1. ðịnh nghĩa tôpô cảm sinh, không gian con 16
1.4.2. ðịnh lý (ðiều kiện ñể một tập mở, ñóng trong không gian
con) . 16
1.4.3. Hệ quả . 17
1.4.4. ðịnh lý (ðiều kiện ñể một tập mở, ñóng trong không gian
con) . 17
1.5. Không gian thương 17
1.6. Các tiên ñề tách . 18 5
1.6.1. ðịnh nghĩa các Ti
– không gian 18
1.6.2. ðịnh lý 19
1.7. Không gian chuẩn tắc 19
1.7.1. Bổ ñề Urysohn . 19
1.7.2. ðịnh lý Tietze – Urysohn 19
1.7.3. Hệ quả . 19
1.7.4. ðịnh lý (ðiều kiện ñể một không gian là chuẩn tắc) 20
1.7.5. Hệ quả . 20
1.8. Không gian mêtric hóa 20
1.8.1. ðịnh nghĩa tôpô sinh bởi mêtric 20
1.8.2. ðịnh nghĩa không gian mêtric hóa . 20
1.8.3. ðịnh lý 20
1.8.4. Các kết quả . 21
1.9. Hữu hạn ñịa phương 21
1.9.1. ðịnh nghĩa hữu hạn ñịa phương 21
1.9.2. Bổ ñề 21
1.9.3. ðịnh nghĩa rời rạc (rời rạc ñịa phương) 21
1.9.4. ðịnh nghĩa hữu hạn σ-ñịa phương (hữu hạn ñịa phương
ñếm ñược) 22
1.9.5. ðịnh nghĩa rời rạc σ-ñịa phương (σ-rời rạc, rời rạc ñịa
phương ñếm ñược) . 22
1.9.6. ðịnh nghĩa làm mịn, làm mịn mở, làm mịn ñóng 22
1.9.7. Bổ ñề 23
1.10. ðịnh lý mêtric hóa Nagata – Smirnov . 23
1.10.1. Tập hợp dạng Gδ 23
1.10.2. Tập hợp dạng Fσ 24
1.10.3. ðịnh lý mêtric hóa Nagata – Smirnov 24 6
1.11. Không gian compact 24
1.11.1. ðịnh nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn 24
1.11.2. ðịnh nghĩa phủ con, phủ con hữu hạn . 24
1.11.3. ðịnh nghĩa không gian compact . 25
1.11.4. ðịnh lý 25
1.11.5. compact hóa 26
1.12. Không gian paracompact . 26
1.12.1. ðịnh nghĩa không gian paracompact . 27
1.12.2. ðịnh lý 27
1.12.3. Hệ quả 27
1.12.4. ðịnh lý . 27
1.12.5. ðịnh nghĩa giá của ánh xạ (support f) . 27
1.13. Không gian phụ hợp 27
Chương 2: PHÂN HOẠCH ðƠN VỊ . 29
2.1. Phân hoạch ñơn vị . 29
2.1.1. ðịnh nghĩa tổng . 29
2.1.2. ðịnh nghĩa các loại phân hoạch . 29
2.1.3. ðịnh nghĩa phân hoạch U-small 30
2.1.4. ðịnh nghĩa không gian chuẩn tắc . 30
2.1.5. ðịnh lý thác triển Tietze trên không gian chuẩn tắc . 31
2.1.6. ðịnh nghĩa không gian paracompact 31
2.1.7. Hệ quả . 31
2.1.8. Mệnh ñề . 32
2.1.9. Hệ quả . 34
2.2. ðồng liên tục - ðồng liên tục nghiêm ngặt 35
2.2.1. ðịnh nghĩa ñồng liên tục nghiêm ngặt . 35 7
2.2.2. ðịnh nghĩa ñồng liên tục 35
2.2.3. Mệnh ñề . 36
2.2.4. Mệnh ñề . 38
2.2.5. Mệnh ñề . 40
2.2.6. ðịnh nghĩa phân hoạch xấp xĩ . 42
2.2.7. Hệ quả . 43
2.2.8. Mệnh ñề . 44
2.2.9. Bổ ñề . 46
2.2.10. ðịnh lý về sự tồn tại phân hoạch ñơn vị U-small 47
2.2.11. ðịnh nghĩa closure-preserving . 47
2.3. Thác triển phân hoạch ñơn vị 47
2.3.1. Mệnh ñề 48
2.3.2. Mệnh ñề . 49
2.3.3. ðịnh lý . 51
2.3.4. Bổ ñề 52
2.3.5. Bổ ñề 53
2.3.6. Bổ ñề 55
2.3.7. Bổ ñề 56
2.3.8. Bổ ñề 58
2.3.9. ðịnh lý (Thác triển phân hoạch ñơn vị trên paracompact) . 59
2.4. Tích phân và ñạo hàm của phân hoạch ñơn vị . 60
2.5. Bậc và chiều 61
2.5.1. ðịnh nghĩa bậc của phủ . 61
2.5.2. ðịnh nghĩa bậc của phân hoạch ñơn vị 61
2.5.3. ðịnh nghĩa chiều của không gian . 62
2.5.4. Bổ ñề . 62
2.5.5. ðịnh nghĩa chiều của không gian paracompact 64 8
2.5.6. Hệ quả . 64
Chương 3: ỨNG DỤNG PHÂN HOẠCH ðƠN VỊ VÀO TÔPÔ . 66
3.1. Ứng dụng phân hoạch ñơn vị trên không gian paracompact 66
3.1.1. ðịnh lý thác triển Tietze 66
3.1.2. Bổ ñề . 68
3.1.3. ðịnh lý A. H. Stone . 69
3.1.4. Bổ ñề . 70
3.1.5. ðịnh lý Tamano . 70
3.1.6. Chú ý (ðiều kiện ñể paracompact ñếm ñược là chuẩn tắc) . 72
3.1.7. ðịnh lý (ðiều kiện ñủ trên không gian paracompact
ñếm ñược) . 73
3.1.8. ðịnh lý thay thế phân hoạch ñơn vị . 75
3.1.9. Hệ quả (ðịnh lý Michael) 80
3.1.10. ðịnh lý mêtric hóa . 81
3.1.11. ðịnh lý mêtric hóa Nagata – Smirnov (ðiều kiện cần) . 84
3.2. Chiều và phân hoạch ñơn vị 86
3.2.1. ðịnh lý (Tổng quát hóa của ñịnh lý thác triển Tietze) 86
3.2.2. Mệnh ñề (Chiều của không gian phụ hợp) . 88
3.2.3. ðịnh lý (Chiều của không gian paracompact) 89
3.2.4. Mệnh ñề (Sự thác triển xấp xĩ) . 91
3.2.5. Hệ quả . 93
3.2.6. ðịnh lý 93
KẾT LUẬN . 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 9
MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài
Sự bùng nổ của nghiên cứu tôpô trong thời gian gần ñây buộc chúng ta
phải xem xét lại các vấn ñề cơ bản và xác ñịnh chủ ñề nào nên có trong
nghiên cứu tôpô. Các nhà toán học tin rằng cơ sở ñể nghiên cứu một không
gian tôpô là tính chuẩn tắc, compact, paracompact và ñịnh lý thác triển Tietze.
Như chúng ta ñã biết, các nhà tôpô thuần túy nghiên cứu các không
gian thông qua các phủ mở. Trong khi ñó, các nhà tôpô hình học lại dùng các
hàm liên tục ñể nghiên cứu các không gian. Chính vì ñiều này, các nhà toán
học: J. Dydak, N. Feldman, J.Segal, R. Engelking, I. M. James, A. T. Lundell,
S. Weingram, . , nổi bật là Dydak ñã nảy ra ý tưởng hợp nhất hai cách
nghiên cứu này. Họ dùng phân hoạch ñơn vị ñể giải quyết vấn ñề và ñã thành
công.
Chúng ta cũng ñã biết, phân hoạch ñơn vị là một trong các công cụ cơ
bản của giải tích, nó cũng thường ñược sử dụng trong lý thuyết ñồng luân.
Nhưng theo sự trình bày của tôpô chính thống thì phân hoạch ñơn vị chỉ tồn
tại phụ thuộc vào phủ cho trước. A. T. Lundell và S. Weingram cũng ñã có
những cố gắng áp dụng phân hoạch ñơn vị vào tôpô của các CW phức nhưng
chỉ dừng lại ở phân hoạch ñơn vị hữu hạn ñịa phương. I. M. James cũng chỉ
thảo luận ñược phân hoạch ñơn vị hữu hạn ñiểm ở tôpô tổng quát và lý thuyết
ñồng luân. Vì vậy, các ứng dụng gặp khó khăn khi dùng phương pháp ñại số
ñể xây dựng phân hoạch ñơn vị hữu hạn ñịa phương. Ngay cả phân hoạch ñơn
vị tùy ý theo dạng ñịnh sẵn cũng gặp lắm phiền phức ñể tránh tất cả các trở
ngại. 10
Sự ra ñời của khái niệm “Phân hoạch của các hàm ñồng liên tục” là
một hướng mới ñể tận dụng tất cả các ưu ñiểm của các phép tính vi tích phân
và phương pháp ñại số ñể nghiên cứu phân hoạch ñơn vị.
Khái niệm “Paracompact” ra ñời trong những năm gần ñây. Nó là một
tổng quát hóa hữu ích nhất của không gian compact. Nó ñặc biệt giúp ích cho
các ứng dụng trong tôpô và hình học vi phân, ñiển hình là ñịnh lý mêtric hóa.
Một trong những tính chất hữu ích nhất mà không gian paracompact sở hữu
ñó là sự tồn tại của phân hoạch ñơn vị.
Vì những lí do ñó, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu về phân hoạch ñơn vị ñặc
biệt là phân hoạch ñơn vị phụ thuộc vào phủ, phân hoạch ñồng liên tục, tính
ñồng liên tục, thác triển phân hoạch ñơn vị, bậc của phân hoạch ñơn vị.
Trên cơ sở ñó, chúng tôi tìm hiểu và áp dụng chúng ñể nghiên cứu tôpô
và hình học, ñặc biệt là nghiên cứu về: “Phân hoạch ñơn vị trên không gian
paracompact ”.
2. Mục ñích
Dùng phân hoạch ñơn vị phụ thuộc phủ ñể chứng minh các kết quả trên
không gian paracomapact một cách ngắn gọn và ñơn giản hơn.
3. ðối tượng và nội dung nghiên cứu
Không gian paracompact.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Dùng phân hoạch ñơn vị phụ thuộc phủ làm giảm ñi một số ñiều kiện ñối
với các kết quả trên không gian paracompact giúp cho các phát biểu trên
không gian paracompact trở nên ñơn giản và ngắn gọn hơn.