Đồ Án Phân hoá của vành đa thức theo các phần tử liên hợp và ứng dụng trong lý thuyết mã

Tóm tắt: Mã xyclic cục bộ (XCB) tuy còn non trẻ nhưng đã tỏ ra có nhiều ưu điểm thoả mãn được yêu cầu thực tế của hệ thống truyền tin. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ đề cập đến một cách phân hoạch mới trên vành đa thức chẵn Z2[x]/x2n+1 (ký hiệu là Z2n) đó là phân hoạch theo lớp các phần tử liên hợp và từ đây xây dựng mã XCB cụ thể trên phân hoạch này.
1. Phân hoạch của vành đa thức Z2n theo các phần tử liên hợp
1.1 Các thặng dư bậc 2 và các căn bậc 2 của chúng.
Định nghĩa 1.1: Đa thức f(x) được gọi là thặng dư bậc 2 (quadratic residue - QR) trong Z2n nếu tồn tại đa thức g(x) sau:
g2(x) º f(x) mod x2n+1 (1.1) Như vậy g(x) Î Z2n và được gọi là căn bậc 2 (Square root - Sqr) của f(x).
Nếu g(x) = được gọi là căn bậc 2 chính của f(x).
Chẳng hạn nếu: f(x)= 1+ x2 + x4 thì căn bậc 2 chính của nó là: = 1+ x + x2
Bổ đề 1.1:Đa thức f(x) nằm trong tập các thặng dư bậc 2 Q2n ( f(x) Î Q2n ) khi và chỉ khi f(x) chứa các đơn thức có số mũ chẵn.
Số các thặng dư bậc 2 trong Z2n được xác định như sau:
½Q2n½= = = 2n (1.2)
Ví dụ 1.1: Ta xét vành Z2n với n=3 ta có vành Z6 ( n = 3)
Tập các thặng dư bậc hai Q2n trong vành Z6 được xác định theo bổ đề 2.1 như sau:
Q6 ={0, 1, x2, x4, 1+x2, 1+x4, x2+x4, 1+x2+x4} ( có tất cả 23 - tức 2n - phần tử)
Bổ đề 1.2: Các căn bậc 2 của một thặng dư bậc 2 được xác định theo công thức sau:
sqr[f(x)] = g(x) = (1+xn) (1.3)
Trong đó U là một tập gồm các tổ hợp tuỳ ý các giá trị trong tập s = {0, 1, 2, ., n-1}
Do vậy lực lượng của U sẽ bằng:½U½ = 2n -1
Ví dụ 1.2: Trong tập Q6 ở trên ta xét một QR bất kỳ để xác định căn bậc 2, chẳng hạn f(x)=x2
áp dụng công thức (1.3) tính các căn bậc hai ở trên ta có
sqr(x2) = (1+x3) (với =x)
+ khi U= {0, 1, 2} sqr(x2) = (1+x3)( 1+x+x2) + x = 1+x2+x3+x4+x5
+ Tương tự ta có: khi U = {0,1} sqr(x2) = (1+x3)( 1+x) + x = 1+x3+x4
Cứ như vậy ta sẽ tìm được toàn bộ 22n phần tử liên hợp của vành Z6.
Nhận xét:
- Trong vành Z2n có 2n thặng dư bậc 2, mỗi thặng dư bậc 2 có 2n căn bậc 2, vậy có tất cả 22n căn bậc 2 trong vành, các căn bậc 2 này tạo nên toàn bộ vành Z2n.
- Ta sẽ gọi các căn bậc 2 của cùng một thặng dư bậc 2 là các phần tử liên hợp (Conjugate Elements ) tương ứng với thặng dư đó ký hiệu là CEs.