Thạc Sĩ Nhóm con mờ tự do và nhóm con mờ của nhóm Abel

Môc lôc
Mº fi˙u 4
Ch›‹ng 1 T¸p con mŒ vµ nhªm con mŒ 6
1.1 T¸p con mŒ 6
1.2 Nhªm con mŒ . 8
1.3 Nhªm con mŒ chu¨n t¾c . 10
1.4 §ång c˚u vµ fi ng c˚u . 14
1.5 C˚p mŒ cæa nhªm con mŒ 15
1.6 TÝch trøc tiÕp fi˙y fiæ vµ yÕu . 17
Ch›‹ng 2 Nhªm con mŒ tø do vµ sø thÓ hiÖn cæa nhªm con mŒ 23
2.1 Nhªm con mŒ tø do 23
2.2 Sø thÓ hiÖn cæa nhªm con mŒ 29
2.3 X'y døng nhªm con mŒ tø do 31
Ch›‹ng 3 Nhªm con mŒ cæa nhªm Abel 37
3.1 Tæng trøc tiÕp vµ t¸p sinh cøc tiÓu . 37
3.2 HÖ sinh fiØc l¸p . 45
3.3 Nhªm con mŒ thu˙n tóy vµ nhªm con mŒ chia fi›îc . 46
3.4 B˚t biÕn cæa nhªm con mŒ 49
KÕt lu¸n 56
Tµi liÖu tham kh¶o 58
3Mº fi˙u
LÞch sö ph‚t triÓn cæa lý thuyÕt c‚c c˚u tróc fi„i sŁ (trong fiª cª nhªm -
vµnh - tr›Œng) fiã tr¶i qua nhưng thŒi kœ huy hoµng tı thÕ kß tr›íc do nhu
c˙u nghi“n cłu ph‚t sinh tı nhiÒu lÜnh vøc cæa to‚n häc, v¸t lý, tin häc vµ
ngµy cµng tÆ râ vai trß quan träng cæa nª trong nhiÒu c«ng tr×nh cho tíi nay.
N¤m 1965 Lofti A. Zadeh fi›a ra kh‚i niÖm t¸p con mŒ cæa mØt t¸p hîp
nh› lµ mØt ph›‹ng ph‚p biÓu diÔn t×nh tr„ng kh«ng ch¾c ch¾n hay kh«ng
râ rµng. Tr›íc hÕt, nª fiã g'y ra sø ph¶n łng mang tÝnh phæ nh¸n m„nh
mˇ tı mØt sŁ nhµ khoa häc vµ to‚n häc cª uy tÝn - nhiÒu ng›Œi trong sŁ
nµy tÆ râ sø chŁng fiŁi c«ng khai. Tuy nhi“n, dï cho sø tranh cãi tiÕp diÔn,
chæ fiÒ nµy còng h˚p dÉn sø chó ý nhưng nhµ to‚n häc kh‚c vµ trong nhưng
n¤m tiÕp theo, lý thuyÕt t¸p con mŒ fiã ph‚t triÓn dư dØi, t×m th˚y nhiÒu
łng dông trong c‚c lÜnh vøc nh› tø fiØng ho‚, fiiÒu khiÓn tŁi ›u, hÖ chuy“n
gia, m„ng n‹ron . Trong hµnh tr×nh ph‚t triÓn kœ diÖu cæa nª, ph¶i kÓ fiÕn
lý thuyÕt fi„i sŁ mŒ vµ trong nhưng th¸p kß vıa qua nhiÒu nhµ nghi“n cłu
fiã lµm viÖc qua c‚c kh‚i niÖm nh› nhªm mŒ, vµnh mŒ, ifi“an mŒ, tr›Œng
mΠ.
N¤m 1971 Zadeh vµ Rosenfield fi›a ra kh‚i niÖm t¸p con mŒ trong bŁi
c¶nh lý thuyÕt nhªm vµ sau fiª tr×nh bµy cª hÖ thŁng vÒ mØt nhªm con mŒ
cæa mØt nhªm. Trong nhưng n¤m g˙n fi'y (1998-2005), cª nhiÒu nhµ to‚n
häc nghi“n cłu vÒ nhªm mŒ nh› Rosenfield, Vasantha, Kim, Kyung Ho,
Jun . N¤m 1982 Liu fiã fiÞnh nghÜa vµ nghi“n cłu vµnh con mŒ còng nh›
ifi“an mŒ. Sau fiª Zhang fiã cª nhưng fiªng gªp tÝch cøc cho viÖc ph‚t triÓn
lÜnh vøc vµnh vµ tr›Œng mŒ. Vasantha, Xia, Xiang-yun, Mordeson, Kim,
Chang Bum . fiã cª nhưng c«ng tr×nh s‚ng gi‚ fiªng gªp cho lÜnh vøc nµy tı
fi˙u thÕ kß 21 fiÕn nay. Tuy nhi“n, mØt fiiÒu c˙n l›u ý lµ kh«ng ph¶i kh‚i
niÖm nµo trong nhªm - vµnh - tr›Œng fiÒu cª thÓ lµm mŒ ho‚ fi›îc, nghÜa lµ
mØt sŁ kh‚i niÖm vµ kÕt qu¶ trong nhªm - vµnh - tr›Œng kh«ng thÓ chuyÓn
qua fi›îc trong hÖ mŒ t›ng łng. Nhưng fiiÒu chuyÓn fi›îc fiÒu cª nhưng łng
dông thiÕt thøc trong lÜnh vøc râ còng nh› mŒ. G˙n fi'y, ng›Œi ta fiã t×m
fi›îc nhưng łng dông cæa mØt sŁ c˚u tróc fi„i sŁ mŒ nh› lµ nhªm mŒ, vµnh
mŒ vµ tr›Œng mŒ chæ yÕu vµo trong lÜnh vøc «t«mat mŒ mµ «t«mat mŒ l„i
cª nhưng łng dông thó vÞ trong hÖ chuy“n gia, m„ng n‹ron, lý thuyÕt nh¸n
d„ng .
MØt kh‚i niÖm quan träng trong nghi“n cłu nhiÒu lý thuyÕt to‚n häc lµ
kh‚i niÖm v¸t tø do. Ch ng h„n, c‚c v¸t tø do xu˚t hiÖn trong fi„i sŁ trıu
t›îng, l«gic to‚n, lý thuyÕt dµn, lý thuyÕt ph„m trï vµ fi„i sŁ phæ dông.
C‚c v¸t tø do còng quan träng trong khoa häc m‚y tÝnh. Chóng xu˚t hiÖn
trong l¸p tr×nh l«gic vµ «t«mat d›íi t“n gäi Phæ dông Herbrand. Chóng m«
t¶ mØt c‚ch næi b¸t theo tiÕp c¸n fi„i sŁ fiŁi víi ngư nghÜa cæa ng«n ngư l¸ptr×nh. Do fiª mØt kh‚i niÖm thÝch hîp vÒ tÝnh tø do cæa fiŁi t›îng mŒ cª
thÓ chłng minh tÝnh hưu Ých trong viÖc nghi“n cłu lý thuyÕt nhªm mŒ.
Trong lý thuyÕt nhªm, mØt kh‚i niÖm li“n quan fiÕn v¸t tø do lµ kh‚i
niÖm thÓ hiÖn. Kh‚i niÖm thÓ hiÖn fiã chłng minh tÝnh hưu Ých trong lý
thuyÕt nhªm. Sø thÓ hiÖn cung c˚p mØt ph›‹ng ph‚p tiÖn lîi x‚c fiÞnh râ
c‚c tÝnh ch˚t cæa mØt nhªm. ChuyÓn qua fiŁi t›îng mŒ, sø thÓ hiÖn còng
fiªng mØt vai trß quan träng trong viÖc x‚c fiÞnh c‚c tÝnh ch˚t cæa nhªm mŒ.
NhiÒu vÝ dô tŁt nh˚t cæa lý thuyÕt c˚u tróc fi„i sŁ xu˚t ph‚t tı lý thuyÕt
nhªm giao ho‚n. Lý thuyÕt nhªm giao ho‚n còng lµ mØt lý do chÝnh cho
viÖc nghi“n cłu lý thuyÕt m«fiun. C‚c kÕt qu¶ vÒ m˘t c˚u tróc fiŁi víi nhªm
con mŒ cæa nhªm Abel lµ r˚t thó vÞ, chóng cª nhiÒu łng dông, ch ng h„n
trong fi„i sŁ nhªm mŒ vµ mº rØng tr›Œng mŒ.
Trong lu¸n v¤n nµy, ngoµi lŒi c¶m ‹n, lŒi mº fi˙u, ph˙n kÕt lu¸n vµ tµi
liÖu tham kh¶o nØi dung lu¸n v¤n fi›îc chia lµm ba ch›‹ng:
Ch›‹ng 1: T¸p con mŒ vµ nhªm con mŒ.
Ch›‹ng 2: Nhªm con mŒ tø do vµ sø thÓ hiÖn cæa nhªm con mŒ.
Ch›‹ng 3: Nhªm con mŒ cæa nhªm Abel.
5Ch›‹ng 1
T¸p con mŒ vµ nhªm con mŒ
Trong ch›‹ng nµy ta ký hiÖu X, Y, Z lµ c‚c t¸p hîp kh‚c rçng.
1.1 T¸p con mŒ
Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy mØt sŁ kh‚i niÖm c‹ b¶n cæa lý thuyÕt
t¸p mŒ, cª thÓ xem trong [19].
§Þnh nghÜa 1.1. MØt t¸p con mŒ cæa X lµ mØt hµm µ : X ư→ [0, 1].
T¸p hîp t˚t c¶ c‚c t¸p con mŒ cæa t¸p X fi›îc gäi lµ t¸p lòy thıa mŒ
cæa X vµ fi›îc ký hiÖu lµ FP(X).
§Þnh nghÜa 1.2. Cho µ ∈ FP(X). Khi fiª, t¸p hîp {µ(x)|x ∈ X} fi›îc gäi
lµ ¶nh cæa µ vµ fi›îc ký hiÖu bºi µ(X) hay Im(µ). T¸p hîp
µ
∗
= {x ∈ X|µ(x) > 0}
fi›îc gäi lµ gi‚ cæa µ. §˘c biÖt, µ fi›îc gäi lµ t¸p con mŒ hưu h„n (t›‹ng
łng, t¸p con mŒ v« h„n) nÕu µ
∗ lµ t¸p hưu h„n (t›‹ng łng, v« h„n).
§Þnh nghÜa 1.3. Cho Y lµ mØt t¸p hîp con cæa t¸p hîp X vµ a ∈ [0, 1]. Ta
fiÞnh nghÜa a Y ∈ FP(X) nh› sau:
a Y (x) =
 a víi x ∈ Y
0 víi x ∈ X\Y
§˘c biÖt, nÕu t¸p Y chØ gåm mØt ph˙n tö, Y = {y}, th× a{y} fi›îc gäi
lµ mØt fiiÓm mŒ vµ fi›îc ký hiÖu lµ a y . Ký hiÖu 1 Y lµ hµm fi˘c tr›ng cæa Y .
§Þnh nghÜa 1.4. Cho µ, ν ∈ FP(X). NÕu µ(x) ≤ ν(x), ∀x ∈ X, th× µ fi›îc
gäi lµ chła trong ν (hay ν chła µ), vµ ta viÕt µ ⊆ ν (hay ν ⊇ µ). NÕu
µ(x) = ν(x), ∀x ∈ X, th× µ = ν.
§Þnh nghÜa 1.5. Cho µ, ν ∈ FP(X). Ta fiÞnh nghÜa:
(µ ∪ ν)(x) = µ(x) ∨ ν(x) := max{µ(x), ν(x)},
(µ ∩ ν)(x) = µ(x) ∧ ν(x) := min{µ(x), ν(x)}, ∀x ∈ X.
Khi fiª, µ ∪ ν vµ µ ∩ ν fi›îc gäi l˙n l›ît lµ hîp vµ giao cæa µ vµ ν.
Ngoµi ra, ν fi›îc gäi lµ ph˙n bï cæa µ nÕu ν(x) = 1 ư µ(x), ∀x ∈ X.
6B»ng qui n„p cª thÓ mº rØng c‚c ph—p to‚n hîp vµ giao cho nhiÒu h‹n
hai t¸p con mŒ. MØt c‚ch tæng qu‚t, víi hä b˚t kœ {µ i |i ∈ I} c‚c t¸p con
mŒ cæa X, I lµ t¸p chØ sŁ kh‚c rçng, ta fiÞnh nghÜa:
(S
i∈I
µ i )(x) = W
i∈I
µ i (x) := sup
i∈I
µ i (x),
(T
i∈I
µ i )(x) = V
i∈I
µ i (x) := inf
i∈I
µ i (x).
§Þnh nghÜa 1.6. Cho µ ∈ FP(X). Víi a ∈ [0, 1] ta fiÞnh nghÜa
µ a = {x ∈ X|µ(x) ≥ a}.
T¸p µ a fi›îc gäi lµ aưl‚t c¾t hay aưt¸p młc cæa µ.
Nh¸n x—t 1.1. Ta cª c‚c kÕt qu¶ sau: ∀µ, ν ∈ FP(X),
1) µ ⊆ ν, a ∈ [0, 1] =⇒ µ a ⊆ ν a .
2) a ≤ b, a, b ∈ [0, 1] =⇒ µ b ⊆ µ a .
3) µ = ν ⇐⇒ µ a = ν a , ∀a ∈ [0, 1].
§Þnh nghÜa 1.7. Cho f lµ mØt hµm tı X vµo Y , µ ∈ FP(X) vµ ν ∈ FP(Y ).
Khi fiª c‚c t¸p con mŒ f(µ) ∈ FP(Y ) vµ f
ư1 (ν) ∈ FP(X) fi›îc fiÞnh nghÜa
nh› sau: ∀y ∈ Y ,
f(µ)(y) :=
 ∨{µ(x)|x ∈ G, f(x) = y} nÕu f
ư1 (y) 6= Ø
0 trong tr›Œng hîp cßn l„i
vµ ∀x ∈ X, f
ư1 (ν)(x) = ν(f(x)). Khi fiª f(µ) fi›îc gäi lµ ¶nh cæa µ bºi f
vµ f
ư1 (ν) fi›îc gäi lµ ¶nh ng›îc hay t„o ¶nh cæa ν bºi f.
Ta cª c‚c kÕt qu¶ sau:
MÖnh fiÒ 1.1. Cho f vµ g l˙n l›ît lµ c‚c hµm tı X vµo Y vµ tı Y vµo Z.
1) Víi mäi µ i ∈ FP(X), i ∈ I, f(∪ i∈I µ i ) = ∪ i∈I f(µ i ) vµ
µ 1 ⊆ µ 2 =⇒ f(µ 1 ) ⊆ f(µ 2 ), ∀µ 1 , µ 2 ∈ FP(X).
2) Víi mäi ν j ∈ FP(Y ), j ∈ J, víi J lµ mØt t¸p chØ sŁ kh‚c rçng th×
f
ư1 (∪ j∈J ν j ) = ∪ j∈J f
ư1 (ν j ), f
ư1 (∩ j∈J ν j ) = ∩ j∈J f
ư1 (ν j ),
vµ ν 1 ⊆ ν 2 =⇒ f
ư1 (ν 1 ) ⊆ f
ư1 (ν 2 ), ∀ν 1 , ν 2 ∈ FP(Y ).
3) f
ư1 (f(µ)) ⊇ µ, ∀µ ∈ FP(X). §˘c biÖt, nÕu f lµ mØt fi‹n ‚nh th×
f
ư1 (f(µ)) = µ, ∀µ ∈ FP(X). NghÜa lµ µ 7ư→ f(µ) lµ mØt fi‹n ‚nh tı
FP(X) vµo FP(Y ) vµ ν 7ư→ f
ư1 (ν) lµ mØt toµn ‚nh tı FP(Y ) l“n FP(X).
4) f(f
ư1 (ν)) ⊆ ν, ∀ν ∈ FP(Y ). §˘c biÖt, nÕu f lµ mØt toµn ‚nh th×
f(f
ư1 (ν)) = ν, ∀ν ∈ FP(Y ) vµ do fiª µ 7ư→ f(µ) lµ mØt toµn ‚nh tı FP(X)
l“n FP(Y ) vµ ν 7ư→ f
ư1 (ν) lµ mØt fi‹n ‚nh tı FP(Y ) vµo FP(X).
5) f(µ) ⊆ ν ⇐⇒ µ ⊆ f
ư1 (ν), ∀µ ∈ FP(X), ∀ν ∈ FP(Y ).
6) g(f(µ)) = (g ◦ f)(µ), ∀µ ∈ FP(X) vµ f
ư1 (g
ư1 (ξ)) = (g ◦ f)
ư1 (ξ), ∀ξ ∈
FP(Z).
71.2 Nhªm con mŒ
Tı fi'y vÒ sau nÕu kh«ng nªi g× th“m th× ta xem G lµ mØt nhªm nh'n
víi ph˙n tö fi‹n vÞ e.
Cª thÓ t×m hiÓu c‚c kh‚i niÖm vÒ nhªm con mŒ vµ c‚c kÕt qu¶ li“n quan
cæa môc nµy trong [13] vµ [14], fi˘c biÖt trong [4] (Ch. 1).
§Þnh nghÜa 1.8. Cho µ ∈ FP(G). Khi fiª µ fi›îc gäi lµ mØt nhªm con mŒ
cæa G nÕu µ thÆa mãn hai fiiÒu kiÖn sau: ∀x, y ∈ G,
1) µ(xy) ≥ µ(x) ∧ µ(y),
2) µ(x
ư1 ) ≥ µ(x).
T¸p t˚t c¶ c‚c nhªm con mŒ cæa nhªm G kÝ hiÖu lµ F(G).
Râ rµng, nÕu µ ∈ F(G) vµ H lµ mØt nhªm con cæa G th× µ| H ∈ F(H).
VÝ dô 1.1. X—t nhªm cØng c‚c sŁ nguy“n Z vµ hµm µ x‚c fiÞnh nh› sau:
µ(x) =
 a nÕu x ∈ 2 Z
b nÕu x ∈ 2 Z + 1.
víi a, b ∈ [0, 1] vµ b ≤ a. Khi fiª µ lµ mØt nhªm con mŒ cæa Z .
Chłng minh cæa mÖnh fiÒ sau lµ fi‹n gi¶n:
MÖnh fiÒ 1.2. Cho µ ∈ F(G). Khi fiª víi mäi x ∈ G,
1) µ(e) ≥ µ(x).
2) µ(x) = µ(x
ư1 ).
MÖnh fiÒ 1.3. Cho µ ∈ FP(G). Khi fiª c‚c kh ng fiÞnh sau lµ t›‹ng fi›‹ng:
1) µ ∈ F(G).
2) µ(x
ư1 y) ≥ µ(x) ∧ µ(y).
3) µ a lµ nhªm con cæa G víi mäi a ∈ µ(G) ∪ [0, µ(e)].
Chłng minh.
1) =⇒ 3). §˘t A = µ(G) ∪ [0, µ(e)]. Víi mäi a ∈ A th× a ≤ µ(e) n“n e ∈ µ a .
Suy ra µ a 6= Ø. H‹n nưa, ∀x, y ∈ µ a ,
µ(x
ư1 y) ≥ µ(x
ư1 ) ∧ µ(y) ≥ µ(x) ∧ µ(y) ≥ a ∧ a = a.
Suy ra x
ư1 y ∈ µ a . Do fiª µ a lµ nhªm con cæa G.
3) =⇒ 2). Víi x, y ∈ G, fi˘t a = µ(x), b = µ(y) vµ c = a ∧ b th× c ∈ µ(G).
Theo gi¶ thiÕt, µ c lµ nhªm con cæa G. V× x, y ∈ µ c n“n x
ư1 y ∈ µ c . Do fiª
µ(x
ư1 y) ≥ c = a ∧ b = µ(x) ∧ µ(y).
2) =⇒ 1). Víi mäi x, y ∈ G, µ(e) = µ(x
ư1 x) ≥ µ(x) ∧ µ(x) = µ(x),
µ(x
ư1 ) = µ(x
ư1 e) ≥ µ(x
ư1 ) ∧ µ(e) ≥ µ(x) ∧ µ(e) = µ(x),
µ(xy) = µ((x
ư1 )
ư1 y) ≥ µ(x
ư1 ) ∧ µ(y) ≥ µ(x) ∧ µ(y).
Do fiª µ ∈ F(G).
8HÖ qu¶ 1.1. NÕu µ ∈ F(G) th× µ∗ vµ µ
∗ lµ c‚c nhªm con cæa G. Trong fiª
µ∗ = {x ∈ G|µ(x) = µ(e)}, µ
∗
= {x ∈ G|µ(x) > 0}
lµ c‚c t¸p fi›îc x—t kh‚c rçng.
§Þnh nghÜa 1.9. Ta fiÞnh nghÜa tÝch cæa hai t¸p con mŒ vµ nghÞch fi¶o cæa
mØt t¸p con mŒ nh› sau: ∀µ, ν ∈ FP(G) vµ ∀x ∈ G,
(µ ◦ ν)(x) = ∨{µ(y) ∧ ν(z)|y, z ∈ G, yz = x}, µ
ư1 (x) = µ(x
ư1 ).
µ ◦ ν vµ µ
ư1 l˙n l›ît fi›îc gäi lµ tÝch cæa µ vµ ν vµ nghÞch fi¶o cæa µ.
DÔ th˚y ph—p to‚n ◦ cª tÝnh ch˚t kÕt hîp.
Nh¸n x—t 1.2. µ ◦ ν vµ µ
ư1 lµ c‚c t¸p con mŒ cæa G.
MÖnh fiÒ 1.4. Cho µ, ν, µ i ∈ FP(G), i ∈ I vµ a = ∨{µ(x)|x ∈ G}. Khi fiª,
1) µ ◦ ν(x) = ∨ y∈G (µ(y) ∧ ν(y
ư1 x)) = ∨ y∈G (µ(xy
ư1 ) ∧ ν(y)), ∀x ∈ G.
2) (a y ◦ µ)(x) = µ(y
ư1 x), ∀x, y ∈ G.
3) (µ ◦ a y )(x) = µ(xy
ư1 ), ∀x, y ∈ G.
4) (µ
ư1 )
ư1 = µ.
5) µ ⊆ µ
ư1 ⇐⇒ µ
ư1 ⊆ µ ⇐⇒ µ = µ
ư1 ⇐⇒ µ(x) ≤ µ(x
ư1 ), ∀x ∈ G
⇐⇒ µ(x
ư1 ) ≤ µ(x), ∀x ∈ G ⇐⇒ µ(x) = µ(x
ư1 ), ∀x ∈ G.
6) µ ⊆ ν ⇐⇒ µ
ư1 ⊆ ν
ư1 .
7) (S
i∈I
µ i )
ư1 = S
i∈I
µ
ư1
i
.
8) (T
i∈I
µ i )
ư1 = T
i∈I
µ
ư1
i
.
9) (µ ◦ ν)
ư1 = ν
ư1 ◦ µ
ư1 .
Chłng minh. Chłng minh cæa c‚c kÕt qu¶ 1), 4), 5), 6), 7), 8) lµ dÔ.
2) (a y ◦ µ)(x) = ∨ z∈G {a y (z) ∧ µ(z
ư1 x)} = ∨ z∈G {a ∧ µ(y
ư1 x), 0}
= a ∧ µ(y
ư1 x) = µ(y
ư1 x).
3) Chłng minh t›‹ng tø 2).
9) ∀x ∈ G, (µ ◦ ν)
ư1 (x) = (µ ◦ ν)(x
ư1 ) = ∨ y∈G {µ(x
ư1 y
ư1 ) ∧ ν(y)}
= ∨ z∈G {ν(z
ư1 ) ∧ µ(x
ư1 z)} = ∨ z∈G {ν(z
ư1 ) ∧ µ((z
ư1 x)
ư1 )}
= ∨ z∈G {ν
ư1 (z) ∧ µ
ư1 (z
ư1 x)} = (ν
ư1 ◦ µ
ư1 )(x).
Do fiª (µ ◦ ν)
ư1 = ν
ư1 ◦ µ
ư1 .
MÖnh fiÒ 1.5. Cho µ ∈ FP(G). Khi fiª µ ∈ F(G) nÕu vµ chØ nÕu
1) µ ◦ µ ⊆ µ vµ
2) µ
ư1 ⊇ µ.
Chłng minh. Gi¶ sö µ ∈ F(G), ta cª µ
ư1 (x) = µ(x
ư1 ) ≥ µ(x), ∀x ∈ G. Do
fiª µ
ư1 ⊇ µ. M˘t kh‚c, víi b˚t kœ x ∈ G,