Luận Văn Nhập môn lý thuyết knot

TÊN ĐỀ TÀI: Nhập môn lý thuyết knot​
Information
LỜI NÓI ĐẦU



Tôpô theo quan điểm hình học là một ngành khoa học nghiên cứu các bất biến Tôpô, tức là các tính chất không thay đổi qua các phép biến đổi liên tục. Tô pô đại số là một nhánh lớn của Tôpô mà trong đó người ta dùng công cụ đại số để khảo sát các bất biến Tôpô. Nói một cách nôm na, Tôpô đại số là “bức tranh” đại số của “vật thể” Tôpô. Lý thuyết knot là một bộ phận quan trọng của Tôpô học nói chung, Tôpô đại số nói riêng. Lý thuyết knot được khởi xướng bởi C.F.Gauss vào khoảng 1835-1840. Sau đó được một học trò xuất sắc của Gauss là J. B. Listing phát triển và nghiên cứu như là một đối tượng của Tô pô học. Trong vài ba thập niên gần đây, lý thuyết knot phát triển rất mạnh và tìm được nhiều ứng dụng trong cả nội tại Toán học cũng như trong vật lý, cơ học. Lý thuyết knot là một bộ phận của Tô pô đại số vì các công cụ đại số rất hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết knot. Bất biến đầu tiên của một knot (với tư cách một không gian tôpô) chính là nhóm cơ bản của nó. Các bất biến cơ bản khác của một knot liên quan đến các đa thức (đa thức Alexander, đa thức Jones, đa thức Kauffman). Hệ các bất biến của knot sẽ giúp chúng ta phân loại tô pô các knot.
Chính vì sự hấp dẫn và tầm quan trọng của lý thuyết knot nên em quyết định chọn nó làm đề tài nghiên cứu của mình, hy vọng sẽ tìm hiểu và nắm được những kiến thức cơ bản về knot, làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn về sau ở lĩnh vực này.
Trong luận văn này ta sẽ trình bày về một số định nghĩa cơ bản của knot dựa trên sự mô tả hình học. Cuối cùng, ta sẽ tiến hành xem xét một bất biến của knot đó là nhóm cơ bản.
Ngoài lời nói đầu và kết luận, nội dung của luận văn bao gồm ba chương :
1. Chương I : Nhóm cơ bản
Trong chương này ta trình bày lại một số định nghĩa cơ bản của tôpô đại số như đồng luân, nhóm cơ bản, Đồng thời khảo sát một số tính chất của hàm tử ( ) π 1

2. Chương II : Knot
Phần này dành để định nghĩa thế nào là một knot và mô tả hình ảnh cụ thể của nó trong thực tế bằng ngôn ngữ hình học thông thường. Đồng thời đưa ra một số bất biến đơn giản của knot như số crossing của một knot, số link của một link,
3. Chương III : Nhóm cơ bản của knot
Mở đầu chương này ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của tôpô đại số- định lý Van-Kampen. Từ đó chứng minh định lý Wirtinger làm công cụ để tính nhóm cơ bản của một vài knot đơn giản.
Lý thuyết knot là một lý thuyết khó. Cho đến nay vẫn còn nhiều vấn đề, nhiều chỗ chưa thể chứng minh được. Chính vì đặc điểm này, nó đang là một đề tài nóng bỏng được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Với một kiến thức hạn chế khi nghiên cứu về một lý thuyết mới, bản thân em khó trách khỏi những thiếu xót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn bè đồng môn.
Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn các quý thầy cô trong tổ bộ môn Toán những người đã trực tiếp giảng dạy em trong những năm qua để hôm nay em có cơ hội được thực hiện đề tài này .
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Lê Anh Vũ đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho em những ý kiến quý báo. Trong quá trình thực hiện đề tài, em đã tham khảo một số tài liệu sách của một số tác giả nhưng không có điều kiện liên hệ, thông qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các tác giả.