Luận Văn Nhập môn lý thuyết Knot

LỜI NÓI ĐẦU

Tôpô theo quan điểm hình học là một ngành khoa học nghiên cứu các bất
biến Tôpô, tức là các tính chất không thay đổi qua các phép biến đổi liên tục. Tô pô
đại số là một nhánh lớn của Tôpô mà trong đó người ta dùng công cụ đại số để khảo
sát các bất biến Tôpô. Nói một cách nôm na, Tôpô đại số là “bức tranh” đại số của
“vật thể” Tôpô.
Lý thuyết knot là một bộ phận quan trọng của Tôpô học nói chung, Tôpô đại
số nói riêng. Lý thuyết knot được khởi xướng bởi C.F.Gauss vào khoảng 1835-
1840. Sau đó được một học trò xuất sắc của Gauss là J. B. Listing phát triển và
nghiên cứu như là một đối tượng của Tô pô học. Trong vài ba thập niên gần đây, lý
thuyết knot phát triển rất mạnh và tìm được nhiều ứng dụng trong cả nội tại Toán
học cũng như trong vật lý, cơ học. Lý thuyết knot là một bộ phận của Tô pô đại số
vì các công cụ đại số rất hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết knot. Bất biến đầu
tiên của một knot (với tư cách một không gian tôpô) chính là nhóm cơ bản của nó.
Các bất biến cơ bản khác của một knot liên quan đến các đa thức (đa thức
Alexander, đa thức Jones, đa thức Kauffman). Hệ các bất biến của knot sẽ giúp
chúng ta phân loại tô pô các knot.
Chính vì sự hấp dẫn và tầm quan trọng của lý thuyết knot nên em quyết định
chọn nó làm đề tài nghiên cứu của mình, hy vọng sẽ tìm hiểu và nắm được những
kiến thức cơ bản về knot, làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn về sau ở lĩnh
vực này.
Trong luận văn này ta sẽ trình bày về một số định nghĩa cơ bản của knot dựa
trên sự mô tả hình học. Cuối cùng, ta sẽ tiến hành xem xét một bất biến của knot đó
là nhóm cơ bản.
Ngoài lời nói đầu và kết luận, nội dung của luận văn bao gồm ba chương :
1. Chương I : Nhóm cơ bản
Trong chương này ta trình bày lại một số định nghĩa cơ bản của tôpô đại số
như đồng luân, nhóm cơ bản, Đồng thời khảo sát một số tính chất của hàm
tử π ( ) 1 X .
2. Chương II : Knot
Phần này dành để định nghĩa thế nào là một knot và mô tả hình ảnh cụ thể
của nó trong thực tế bằng ngôn ngữ hình học thông thường. Đồng thời đưa ra
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp 5
một số bất biến đơn giản của knot như số crossing của một knot, số link của
một link,
3. Chương III : Nhóm cơ bản của knot
Mở đầu chương này ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của tôpô đại số-
định lý Van-Kampen. Từ đó chứng minh định lý Wirtinger làm công cụ để
tính nhóm cơ bản của một vài knot đơn giản.
Lý thuyết knot là một lý thuyết khó. Cho đến nay vẫn còn nhiều vấn đề,
nhiều chỗ chưa thể chứng minh được. Chính vì đặc điểm này, nó đang là một đề tài
nóng bỏng được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Với một kiến thức hạn chế khi
nghiên cứu về một lý thuyết mới, bản thân em khó trách khỏi những thiếu xót, rất
mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn bè đồng môn.
Trước tiên, em xin chân thành cảm ơn các quý thầy cô trong tổ bộ môn Toán
những người đã trực tiếp giảng dạy em trong những năm qua để hôm nay em có cơ
hội được thực hiện đề tài này .
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Lê Anh
Vũ đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho em những ý kiến quý báo. Trong quá
trình thực hiện đề tài, em đã tham khảo một số tài liệu sách của một số tác giả
nhưng không có điều kiện liên hệ, thông qua đây em xin gửi lời cảm ơn đến các tác
giả.
Nhân dịp này, em cũng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cũng như
giúp đỡ em để đề tài nghiên cứu được hoàn thành.

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1
MỘT SỐ KÝ HIỆU . 3
LỜI NÓI ĐẦU . 4
CHƯƠNG I : NHÓM CƠ BẢN . 6
I. ĐỒNG LUÂN . 6
1.Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục . 6
1.1. Kiến thức chuẩn bị 6
1.2. Định nghĩa . 6
1.3. Minh họa khái niệm đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục: . 7
1.4. Định lý . 7
2. Quan hệ đồng luân giữa hai không gian tôpô . 8
II.NHÓM CƠ BẢN . 9
1. Khái niệm đường 9
1.1. Định nghĩa 9
1.2. Định nghĩa 10
1.3. Định nghĩa 10
2. Đường đóng . 11
2.1.Định nghĩa . 11
2.2.Tích các đường đóng . 11
2.3. Tính chất . 12
3. Không gian liên thông đường . 13
3.1. Định nghĩa 1 . 13
3.2. Định nghĩa 2 . 13
3.3. Tính chất . 13
4. Nhóm cơ bản . 13
4.1. Định nghĩa . 13
4.2. Định lý 14
5. Tính chất hàm tử của 1
π . 15
5.1 Định lý 1 15
5.2 Định lý 2 17
5.3. Định lý 3 . 19
CHƯƠNG II: KNOT . 21
I. KNOT . 21
II. PHÉP DỊCH CHUYỂN 27
III. MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT 30
IV. MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT 37
V. TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT 46
CHƯƠNG III : NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT 50
I. ĐỊNH LÝ VAN-KAMPEN . 50
1. Định lý 50
GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN
Khóa Luận Tốt Nghiệp 2
2. Nhận xét 56
3.Hệ quả 57
II. NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT 58
1. Định nghĩa 58
2. Đại diện Wirtinger của knot . 59
2.1.Định lý Wirtinger . 59
2.2.Chú ý 65
3.Ví dụ 66
3.1. Knot tầm thường . 66
3.2. Knot ba lá . 66
3.3.Knot hình số 8 67
Kết Luận . 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO 69