Thạc Sĩ Nhập môn hình học Symplectic

Đề tài: Nhập môn hình học Symplectic
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Lê Anh Vũ. Tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy – người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp
nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền
đạt những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và
phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học.
Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công
nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ
Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, Trảng Bàng, Tây Ninh cùng toàn thể
quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn
thành luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2009
Tác giả
Dư Thị Phượng Hảo DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
 Đại số Lie của nhóm Lie G.

 Không gian đối ngẫu của đại số Lie  .
Aut Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên  .
TeG Không gian tiếp xúc của nhóm Lie G tại phần tử đơn vị e.
 
2 *
 V Tập các 2-dạng ngoài trên không gian véctơ V.
 
2
 V Tập các dạng song tuyến tính phản đối xứng trên V.
C M 

Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp M.
FM  Tập các hàm nhẵn trên đa tạp M.
  0 F x Tập các hàm nhẵn trên lân cận của điểm
0
x thuộc đa tạp M.
 
s
 M Tập các s-dạng vi phân trên đa tạp M.
 
s
H M dR
Nhóm đối đồng điều de Rham thứ s trên đa tạp M.
Diff M  Nhóm các phép vi phôi trên đa tạp M.
Sympl M , Nhóm các đồng cấu symplectic trên đa tạp M.
( ) M Tập các trường véctơ khả vi trên đa tạp M.
 
sympl
 M Tập các trường véctơ symplectic trên đa tạp M.
 
ham
 M Tập các trường véctơ hamilton trên đa tạp M.
F
K-quỹ đạo chứa F của nhóm Lie G trong .

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong suốt hai thế kỷ qua, các nhà khoa học đặc biệt quan tâm đến “cơ học giải tích”,
trong toán học có thể kể đến các nhà khoa học như: Euler, Lagrange, Laplace, Hamilton,
Jacobi, Poisson, Liouville, Poincaré, Birkhoff, Carathéodory, Lie, E. Cartan, Từ đó, họ đã
phát triển thành vài nhánh quan trọng của toán học đó là: hình học vi phân, tính toán các bất
biến của lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie, lý thuyết về các phương trình đạo hàm riêng và
phương trình vi phân thường,
Trong suốt nửa thế kỷ qua, việc nghiên cứu các cấu trúc hình học trên các đa tạp vi
phân, chẳng hạn như cấu trúc Symplectic, Poisson, Contact, lấy cơ học giải tích và cơ học
cổ điển làm nền tảng, đã giới thiệu được nhiều phương pháp hiện đại của hình học vi phân,
tạo một sức sống mới trong lĩnh vực nghiên cứu hình học. Cấu trúc Symplectic trên đa tạp vi
phân là một 2-dạng đóng và không suy biến. Việc xây dựng cấu trúc Symplectic trên đa tạp
vi phân hình thành khái niệm đa tạp Symplectic. Việc nghiên cứu các đa tạp Symplectic gọi
là hình học Symplectic.
Hình học Symplectic là một nhánh của hình học vi phân, có nguồn gốc từ cơ học cổ
điển Hamilton và còn được gọi là tôpô Symplectic, song sau này tôpô Symplectic chỉ là một
lĩnh vực liên quan đến những vấn đề quan trọng mang tính chất toàn cục trong hình học
Symplectic. So với hình học Riemann, hình học Symplectic có một số điểm giống nhưng
cũng có nhiều điểm khác. Hình học Riemann nghiên cứu các đa tạp vi phân được trang bị
một 2-trường tenxơ đối xứng và không suy biến, trong khi đó hình học Symplectic nghiên
cứu các đa tạp vi phân được trang bị một 2-dạng đóng và không suy biến. Khác đa tạp
Riemann, đa tạp Symplectic phải có số chiều chẵn, định hướng được và không có tính chất
bất biến địa phương về độ cong. Một điểm khác nữa là, không phải mọi đa tạp vi phân tùy ý
nào cũng chấp nhận một cấu trúc Symplectic, .
Hình học Symplectic cũng là một trong những chuyên đề tự chọn trong chương trình
đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán Hình học – Tôpô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh, tuy nhiên cho đến nay chuyên đề này vẫn chưa được trình bày. Do đó chúng tôi quyết định nghiên cứu những tính chất cơ bản nhất của hình học Symplectic với mục đích
xây dựng được cấu trúc Symplectic trên các đa tạp vi phân thông thường. Vì vậy đề tài
nghiên cứu của chúng tôi mang tên:
“NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC”.
2. Mục đích
Giới thiệu tổng quan các kiến thức cơ bản nhất về đa tạp Symplectic. Vấn đề này có
nhiều ứng dụng trong toán học, cũng như trong vật lý cơ học nhưng lại ít được biết đến và
không có một tài liệu tham khảo nào bằng tiếng việt.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đa tạp Symplectic và tác động của nhóm Lie trên đa tạp Symplectic.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Hy vọng luận văn sẽ góp một tài liệu tham khảo cho sinh viên đại học ngành toán các
năm cuối và học viên cao học ngành Hình học và Tôpô.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết
luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Giới thiệu về đề tài nghiên cứu.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức về đa tạp vi phân, đại
số Lie và nhóm Lie.
Chương 2: Đa tạp Symplectic. Trình bày các nội dung chính: không gian véctơ
Symplectic, đa tạp Symplectic, đồng cấu symplectic, đa tạp con của đa tạp
Symplectic, trường véctơ symplectic, trường véctơ hamilton và các định lí quan
trọng là Darboux, Moser.
Chương 3: Tác động của nhóm Lie trên đa tạp Symplectic. Trình bày tác động
symplectic, tác động hamilton và xây dựng cấu trúc symplectic trên K-quỹ đạo. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên
cứu tiếp sau đề tài.
Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông dụng hoặc sẽ
được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các kí hiệu). Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, trình bày lại các kiến thức làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. Các
định lí, hệ quả và các kết quả chỉ phát biểu không chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến
chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu hơn về đa tạp vi phân, nhóm Lie, đại số Lie xin xem
thêm các tài liệu [1], [2], [3], [7] và [8].
1.1. Đa tạp vi phân
1.1.1. Đa tạp tôpô
Giả sử M là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được. Ta gọi M là đa tạp
tôpô n-chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian n-chiều ,
n
 nghĩa là với mọi
x M , tồn tại lân cận mở U của x và đồng phôi  :U V  từ U lên tập mở .
n
V  
1.1.2. Atlat khả vi - Cấu trúc khả vi
Cặp U,  xác định như thế được gọi là một bản đồ địa phương quanh x trên M, hay
gọi tắt là bản đồ. Mỗi bản đồ U,  quanh x U xác định duy nhất một hệ hàm
1
, .,
n
x x
trên U nhận giá trị thực sao cho   1
( ) ( ), ., ( ) ,
n  y x y x y   y U. Ta nói U x x ; , .,
1 n là hệ
tọa độ địa phương quanh x.
Một atlat (tập bản đồ) khả vi lớp
k
C 1 { }     k   là một họ U i I
i i
, :     các
bản đồ thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) Họ Ui là một phủ mở của M;
(ii) Với hai bản đồ  ,  Ui i  và U U U j j i j
, , ,      ánh xạ
1
  j i

 xác định trên i i j U U  là ánh xạ khả vi lớp
k
C từ i i j U U  lên  .  j i j U U
Hai tập bản đồ C1   U i I
i i
, :    và C2   V j J
j j
, :    khả vi lớp
k
C được gọi là
tương thích với nhau nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp
k
C . Quan hệ
“tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp .
k
C Mỗi lớp
tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp
k
C trên M.
1.1.3. Đa tạp vi phân
Đa tạp tôpô n-chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp
k
C cho trên nó được gọi là một đa
tạp vi phân n-chiều lớp .
k
C Nếu k = , cấu trúc khả vi tương ứng được gọi là cấu trúc nhẵn
trên M. Khi đó ta gọi M là đa tạp nhẵn.
1.1.4. Đa tạp con
Cho P là tập con của đa tạp khả vi n-chiều M. Ta nói P là đa tạp con k-chiều của M
nếu với mọi x P  , tồn tại bản đồ U,  của M, :
n
 U U    sao cho ( ) 0 x  và
  {0} . 
k
 U P U      
1.1.5. Tích các đa tạp vi phân
Cho các đa tạp khả vi M với atlat  i i
, 
i I
U  A =

và N với atlat  j j
, . 
j J
V 

B = Trên
không gian tôpô Hausdorff M N xét atlat khả vi
 
, .
,
i j i j
i I j J
U V  
  A B =   
thì M N là đa tạp khả vi và gọi là đa tạp tích của hai đa tạp M và N.
Chú ý: dim ( ) M N  dim M + dim N.
1.2. Ánh xạ khả vi giữa các đa tạp vi phân
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử M, N là hai đa tạp vi phân lớp
k
C với số chiều m, n tương ứng. Ánh xạ liên tục
f M N :  được gọi là khả vi lớp
k
C tại p M nếu với mọi bản đồ U,  quanh p và
V,  quanh f(p) = q mà f U V    thì ánh xạ    
1
    f U V :  
  khả vi tại điểm ( ) .
m
 p 
Ánh xạ f gọi là khả vi lớp
k
C nếu nó khả vi lớp
k
C tại mọi điểm p M .
1.2.2. Nhận xét
Nếu f M N :  và g : N P  là hai ánh xạ khả vi lớp
k
C thì g f : M P   là ánh
xạ khả vi lớp .
k
C
Ánh xạ f M N :  được gọi là vi phôi lớp
k
C nếu f là song ánh và cả f,
1
f

đều
khả vi lớp .
k
C Hợp thành của hai vi phôi lại là một vi phôi.
Từ đây về sau, để cho ngắn gọn, thuật ngữ “khả vi” có ý nghĩa là “khả vi lớp
k
C ” với
một k nào đó 1 { }     k   đủ cần thiết, khi k  , từ “khả vi” được thay bởi từ “nhẵn”.
Với mỗi
0
x thuộc đa tạp nhẵn M, mỗi k { },

    ta kí hiệu:
FM f f    : là hàm nhẵn trên M
F x f f
0    : là hàm nhẵn trong lân cận của x
0
   :
k F M f f  là hàm khả vi lớp
k
C trên M
 0   :
k F x f f  là hàm khả vi lớp
k
C trong lân cận của x
0
.
1
  f

 
M
N
U
f V
 
m
(U ) 
n
(V )  1.3. Không gian tiếp xúc – Phân thớ tiếp xúc – Ánh xạ tiếp xúc
1.3.1. Véctơ tiếp xúc
Cho M là một đa tạp vi phân n-chiều, ta kí hiệu I a,b  – là một trong các tập sau:
a,b , a,b , a,b , a,b .       
Xét ánh xạ liên tục c : I M , t c t .     Khi I là một trong các tập
a,b , a,b , a,b , a,b ,        ta bảo c là đường cong khả vi trên M nếu tồn tại   0 đủ nhỏ và
ánh xạ khả vi c a b M : ( , )      sao cho .
I
c c  
Một véctơ tiếp xúc với c tại   0 0
x c t  là một ánh xạ
 
 
0
0
:
t t
X x
d f c
f Xf
dt 





F
Ta gọi Xf là đạo hàm của f theo hướng của véctơ X hay đạo hàm của f theo hướng của
c tại   0 0
x c t . 
Tính chất
Với mọi   0
f g x , , F ta có
 X(f  g) = Xf  Xg;
 X( f) =  X(f);
         0 0 0 X f g Xf g x f x Xg f g x ( ) ( ). ; , .    F
(Quy tắc Newton – Leibniz)
1.3.2. Không gian tiếp xúc
Cho M là đa tạp vi phân n-chiều và
0
x M là một điểm tùy ý. Véctơ tiếp xúc của M
tại
0
x là một véctơ tiếp xúc X của một đường cong khả vi c nào đó tại
0
x sao cho
    0 0 0
c t x t I .  