Thạc Sĩ Nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa điều hòa dưới trong lớp

ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những
kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
Trường THPT số 1 Bảo Thắng - Lào Cai, cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi cùng
những trao đổi hữu ích trong thời gian tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thành
bản luận văn này.
Tháng 6 năm 2015
Tác giả


Bùi Thanh Tuấn iii
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN . i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
MỞ ĐẦU . 1
1. Lý do chọn đề tài . 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1
3. Phương pháp nghiên cứu . 2
4. Bố cục của luận văn . 2
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. Hàm đa điều hoà dưới . 3
1.2. Toán tử Monge - Ampère phức 4
1.3. Nguyên lý so sánh Bedford - Taylor 9
Chương 2. NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA
ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG LỚP ( ) p
. 14
2.1. Nguyên lý so sánh mạnh . 14
2.2. Ước lượng năng lượng trong ( ) p
. 20
2.3. Định lý hội tụ trong lớp ( ) p
22
2.4. Nguyên lý so sánh mạnh trong lớp ( ) p
28
KẾT LUẬN . 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 41

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đa thế vị là một nhánh của Giải tích phức nhiều biến, được
phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây. Nhiều kết quả quan trọng
của lý thuyết này được biết đến từ trước những năm 80 của thế kỷ XX. Tuy
nhiên sự phát triển của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng
dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học chỉ thực sự mạnh mẽ sau khi
E. Berfod và B. A. Taylor năm 1982, xây dựng thành công toán tử Monge -
Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương. Vì thế có thể
nói toán tử Monge - Ampère phức đóng một vai trò quan trọng, trung tâm trong
lý thuyết đa thế vị giống như toán tử Laplace trong lý thuyết thế vị cổ điển.
Ta cũng biết rằng Định lý hội tụ đơn điệu và nguyên lý so sánh của Bedford
và Taylor là hai định lý cổ điển quan trọng và có nhiều ứng dụng trong lý
thuyết đa thế vị. Chúng đã được sử dụng trong hầu hết các công trình liên
quan đến toán tử Monge - Ampère. Nguyên lý so sánh không chỉ cho định lý
duy nhất của bài toán Driclelet đối với toán tử Monge - Ampère, mà còn là
một trong những công cụ chính trong việc giải phương trình Monge - Ampère.
Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn "Nguyên lý so sánh mạnh đối với
hàm đa điều hoà dưới trong lớp ( ) p
" làm đề tài nghiên cứu. Đề tài có tính
thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm
nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả gần đây của Yang Xing
về Nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa điều hoà dưới với năng lượng đa
phức hữu hạn. Áp dụng nguyên lý này có thể tìm thấy một số bất đẳng thức
quan trọng trong lý thuyết đa thế vị.

2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa
điều hoà dưới, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford -Taylor, .
- Trình bày một số kết quả về nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa
điều hoà dưới với năng lượng đa phức hữu hạn.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết thế vị phức.
- Trình bày chi tiết các kết quả của Yang Xing.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính
chất của hàm đa điều hoà dưới, toán tử Monge - Ampère, nguyên lý so sánh
Bedford -Taylor.
Chương 2. Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên
cứu về nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa điều hoà dưới với năng lượng
đa phức hữu hạn.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.