Thạc Sĩ Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới

MỞ ĐẦU



1. Lý do chọn đề tài

Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng. Đó là việc tìm cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại mọi điểm của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho. Kích thước của những tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng hoặc dung lượng Hausdorff một chiều. Đó là nguyên lý môđun cực tiểu đối với hàm chỉnh hình. Nguyên lý này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán bao gồm các hàm hữu tỷ hoặc các hàm phân hình, có thể có nhiều cực trong một miền đã cho và từ đó cần tìm cận trên của những hàm như thế. Đã có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến nguyên lý này như B.Ya.Levin, A.Yger, A.Zeriahi, . Ở đây chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới” , trình bày các kết quả của A. Zeriahi về tổng quát hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1. Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của Luận văn là trình bày việc tổng quát hoá các lớp khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ
điển các hàm chỉnh hình một biến phức, dựa vào bổ đề Cartan – Boutroux:


- Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong

£ n cũng


như trình bày nguyên lý cực tiểu các hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu


Euclid trong

£ n .


- Từ nguyên lý cực tiểu về thế vị lôgarit trong £ n


suy ra bất đẳng thức


so sánh giữa dung lượng Hausdorff thích hợp với dung lượng lôgarit cổ điển


trong

£ n .


- Đồng thời áp dụng các kết quả trên để tìm các ước lượng chính xác về cỡ của “Lemniscates đa điều hoà dưới” theo nghĩa xấp xỉ dung lưa Hausdorff. (Ước lượng đều trên cỡ của tập mức con của lớp của các hàm đa điều hòa dưới, được gọi là các lemniscat đa điều hòa dưới.)
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ trình bày:

- Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối.
- Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong.
- Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa

điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới.

3. Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước. Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của các tác giả đã nêu ở trên để giải quyết các bài toán đã nêu ra.
Sử dụng phương pháp đã biết giống như phương pháp của “hình cầu loại trừ” trong lý thuyết thế vị thực khi ước lượng thế vị tích phân, phương pháp cho phép chúng ta đạt được ước lượng dưới tổng quát đối với các hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị, mà nó kéo theo “nguyên lý cực tiểu 3– vòng tròn” đối với các hàm đa điều hoà dưới, và có thể thấy nó giống như đối ngẫu của bất đẳng thức 3- vòng tròn Hadamard.


4. Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chư-

ơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại và hàm cực trị tương đối. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong.
Chương 2: Trình bày nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.





MỤC LỤC





Trang


MỞ ĐẦU 1


Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1. Hàm đa điều hoà dưới 4

1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 10

1.3. Hàm cực trị tương đối. 15

1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu 19

1.5. Toán tử Monge-Ampe 21

1.6. Khối lượng xạ ảnh và các số Lelong 21



Chương 2. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA 24

ĐIỀU HÒA DƯỚI

2.1. Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit 24

2.2. Cận dưới đối với hàm đa điều hoà dưới 33

2.3. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới 40

2.4. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới 45


KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51