Thạc Sĩ Nguyên lý biến phân Ekeland và một số Ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU

Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều ứng dụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi tập X không compact thì hàm f có thể không có điểm cực trị. Tuy vậy, với không gian mêtric đủ X , hàm f bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu. Cụ thể là
khi hàm f bị chặn dưới ta luôn tìm được điểm  - xấp xỉ cực tiểu x , tức là


inf X

f  f ( x )  inf X

f   .


Hơn nữa, vào năm 1974, I.Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng với hàm f

nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian mêtric đủ X thì với mọi điểm

 - xấp xỉ cực tiểu x , ta luôn tìm được điểm x là cực tiểu chặt của hàm nhiễu


của hàm ban đầu, đồng thời

f ( x) 

f ( x ) . Không những thế, còn đánh giá


được khoảng cách giữa x và x .

Từ khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế, .
Trong những năm gần đây, nguyên lí này đã được mở rộng cho trường hợp hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian véc tơ.
Mục đích của Luận văn là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và véc tơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí này, được giới thiệu trong các bài báo [2,5].
Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển [2], dạng hình học của nguyên lí (định lí Bishop -Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), một số ứng dụng của nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động


Caristi-Kirk,đạo hàm Gateaux).

Đây là các kết quả được giới thiệu trong bài báo của I.Ekeland [2] năm1974 và các bài báo của các tác giả khác [1,4]. Trong chương này chúng tôi cũng trình bày một cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều (sử dụng điều kiện bức), cách chứng minh này được giới thiệu trong bài giảng về lí thuyết tối ưu của Giáo sư Hoàng Tuỵ - Viện Toán học.
Chương 2 gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị véc tơ, định lí Caristi - Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, một số ví dụ minh hoạ và sự tương đương của ba định lí này. Đây là kết quả mới nhận được, được đăng trong bài báo của Y.Araya [5] năm 2008.
Nhân dịp này, Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

PGS.TS. Trương Xuân Đức Hà - cán bộ Viện Toán học - Viện Khoa học và Công nghệ quốc gia. Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự chỉ bảo, hướng dẫn, sự giúp đỡ tận tình của cô.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng phản biện, các thầy cô trong khoa Toán và khoa Sau đại học - ĐHSP Thái Nguyên, đã giúp đỡ em hoàn thiện luận văn này.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Phú Bình đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.

Xin cảm ơn gia đình và các bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy, Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.



Mục lục



Lời nói đầu

Trang


Chương 1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị .1

1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 4

1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển .4

1.2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . 9

1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland 11

1.3.1. Định lí Bishop-Phelps . 11

1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) .12

1.3.3. Định lí giọt nước (Định lí Drop) . 13

1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí 15

1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ 16

1.4.2. Các định lí điểm bất động 17

1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu 22

Chương 2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25

2.1. Một số kiến thức chuẩn bị 25

2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 28

2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ 30

2.4. Định lí Takahashi véc tơ . 32

2.5. Một vài ví dụ minh hoạ . 33

2.6. Sự tương đương giữa các định lí 34

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo . 36